25.(2009全国卷Ⅱ文)(本小题满分12分).   

如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1

(Ⅰ)证明:AB=AC   

(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小

解析:本题考查线面垂直证明线面夹角的求法,第一问可取BC中点F,通过证明AF⊥平面BCC1,再证AF为BC的垂直平分线,第二问先作出线面夹角,即证四边形AFED是正方形可证平面DEF⊥平面BDC,从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。

解法一:(Ⅰ)取BC中点F,连接EF,则EF,从而EFDA。

连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF//DE。又DE⊥平面,故AF⊥平面,从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC。

(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知,∠AGC=600..

   设AC=2,则AG=。又AB=2,BC=,故AF=

得2AD=,解得AD=

故AD=AF。又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形。

因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF。

连接AE、DF,设AE∩DF=H,则EH⊥DF,EH⊥平面BCD。

连接CH,则∠ECH为与平面BCD所成的角。.   

因ADEF为正方形,AD=,故EH=1,又EC==2,

所以∠ECH=300,即与平面BCD所成的角为300.

解法二:

(Ⅰ)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A-xyz。

设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则(1,0,2c),E(,c).

于是=(,0),=(-1,b,0).由DE⊥平面知DE⊥BC, =0,求得b=1,所以   AB=AC。

(Ⅱ)设平面BCD的法向量

=(-1,1, 0),

=(-1,0,c),故   

令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).

又平面的法向量=(0,1,0)

由二面角为60°知,=60°,

故  °,求得   

于是   , 

       °

所以与平面所成的角为30°

 0  53567  53575  53581  53585  53591  53593  53597  53603  53605  53611  53617  53621  53623  53627  53633  53635  53641  53645  53647  53651  53653  53657  53659  53661  53662  53663  53665  53666  53667  53669  53671  53675  53677  53681  53683  53687  53693  53695  53701  53705  53707  53711  53717  53723  53725  53731  53735  53737  53743  53747  53753  53761  447348 

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