1.落在平静湖面上的雨滴,使水面产生一圈一圈的同心圆形水波,在此后的一段时间内,若最外一圈水波的半径(单位:米)与时间(单位:秒)满足函数关系式,则在2秒末扰动水面面积的变化率为 (　)

A.　 B. 　　C. 　　　D.

1攻略之一--学会数学建模分析的步骤

应用型问题解决的关键是把实际问题抽象为数学问题来解决，完成整个解题过程大体可以分为四个步骤：

(1)读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；

(2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；

(3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；

(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证。

[例1](2009山东卷理)(本小题满分12分)

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065。

(1)将y表示成x的函数；

(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由。

解析：(1)如图，由题意知AC⊥BC,，

其中当时，y=0.065，所以k=9

所以y表示成x的函数为

(2)，,令得，所以,即,当时, ，即所以函数为单调减函数，当时, ,即所以函数为单调增函数，所以当时，即当C点到城A的距离为时，函数有最小值。

[点评]本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.

2攻略之二--掌握数学建模分析的具体方法

注意总结解高中数学应用题的基本模式,以便在解题过程中能尽快找到解题方法，达到“生中见熟”的效果。如行程、工程、浓度等问题可转化为方程(组)或不等式(组)的求解问题；平均增长率问题可转化为求解数列和指数方程(不等式)问题；用料最省、造价最低、容积(面积)最值问题可转化为函数、线性规划最值问题；应用题与平面图形有关时，如拱桥设计可转化为二次曲线，航海、测量问题转化为三角函数问题等；一般可采用关系分析法、列表分析法、图像分析法等方法、分析题目的层次、领会关键词语，弄清题图关系、重视条件转译，准确建模。

[例2](2001年高考试题)(旅游业的投入产出问题)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 　 ，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。

(1)设年内(本年度为第一年)总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出它们的表达式；

(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

解析：在研究旅游业的投入产出问题时，根据“本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少”和“旅游业收入每年会比上年增加”，其投入资金数列和收入(产出)数列均为等比数列，注意题目“设年内(本年度为第一年)总投入为万元，旅游业总收入为万元”中的“年内”说明“　”、“　”表示等比数列的前项和。

　　 建立数学模型：(1)第n年的投入与收入资金数列列表如下

第n年	第n年投入资金(万元)	第n年旅游收入(万元)
1	800	400
2
3
4
…………	………	……….

　　　　 　　　　　　　　(2)略

[点评]通过列表分析，数学模型一目了然，不同的问题要灵活选用不同的分析方法。

3攻略之二--注重数形结合逐步翻译条件

应用性问题往往有大段的文字描述，在解答过程中要真读题、审题，通过审题领会其中的数的本质，并且要养成边读题边画图的习惯，树立数形结合意识,把抽象繁琐的文字叙述，逐步翻译为具体直观的图形关系。

[例3](2009辽宁卷)如图，都在同一个与水平面垂直的平面内，为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面处测得点和点的仰角分别为，，于水面处测得点和点的仰角均为，。试探究图中间距离与另外哪两点距离相等，然后求的距离(计算结果精确到0.01km，1.414，2.449)　　　　

解析：在中，，＝60°－＝30°，

所以

　又＝180°－60°－60°＝60°，

　　 故是底边的中垂线，所以，　　　

　　 在中，，　　　　　

　　 即AB＝

　　 因此，

故的距离约为0.33km。

[点评]对于这类问题在解题过程中,要明确相关的术语概念,如方位角\仰角\俯角等概念,这时顺利解出题目的前提.

4攻略之四--注意语言表达的完整性

　　 数学应用题的求解不同于一般的数学运算题，有人比喻它是数学中的小作文，因此解数学应用题要做到“有头有尾”，把问题中的普通语言转化为数学语言，引入变量与字母，画出图形，将数学建模的过程详细地写出来，建立数学模型后，要准确地求解，并注意计量单位的一致，最后对于所得数据不仅要思考或检验是否与实际吻合，而且要给出完整的答案。

随着新课标的实施和高考改革的不断深入，对应用型题目的考察越来越重视，预计在今后的考察中，不但会加大题量，而且还会从广度和一定的深度上全方位考察，考察学生综合运用数学知识解决实际问题的能力。

数学应用性问题是指能用数学知识来解决的社会生活中有实际背景的实际问题。这类题目的立意、实际背景、创设的情景、设问的角度和方式新颖灵活，对考生的能力和数学素质要求较高，处于考查能力和素质的要求，数学应用题成为近几年高考的热点之一。

近几年全国各地的高考题中，应用性问题的题型有以下几个特点：

(1)数学高考应用题以概率及其分布列为主流，多以药物检验、设计、课程考核、数学竞赛、生产经营等为背景，围绕五个基本概率模型命制，并呈现与函数、方程、不等式相结合的趋势。

(2)三角应用题异军突起，成为应用性题目的一个新的命题热点，主要考查航行、测量、等实际生活问题，主要体现数学在实际生活中的应用，考查知识点主要是正余弦定理、平面几何与三角函数等知识，难度较低，一般出现在前三个题。

(3)函数问题老生常谈，在解决实际问题中的优化问题息息相关，解题过程一般体现导数的应用。

(4)线性规划在处理最优化问题中的应用。

应用题目的命制突出解决实际问题能力的考察，体现“贴近生活、背景公平、控制难度”的命题原则，小题鲜活，大题不难。

22．(本小题满分14分)如图：在直角三角形ABC中，已知AB=a，∠ACB=30^o，∠B=90^o,D为AC的中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起，二面角A'-BD-C的大小记为θ。

⑴求证：平面A'EF^平面BCD；　　　　　　　　　　　

⑵θ为何值时A'B^CD？　　　　　　　　　

⑶在⑵的条件下，求点C到平面A'BD的距离。

21。(本小题满分12分)已知棱长为1的正方体AC₁，E，F分别是B₁ C₁和C₁D₁的中点

(1)求证：E、F、B、D共面

(2)求点A₁到平面BDFE的距离

(3)求直线A₁D与平面BDFE所成的角

20。(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE，求线段AD的取值范围，并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时，二面角E-BC-A的大小。

19. (本小题满分12分)在长方体ABCD-中，AB=2，，E为的中点，连结ED，EC，EB和DB。

　　 (Ⅰ)求证：平面EDB⊥平面EBC；(Ⅱ)求二面角E-DB-C的正切值；

　　 (Ⅲ)求异面直线EB和DC的距离。

18．(本小题满分12分)设平面∥平面b,A、B在 内，C、D在b内，且AC=13cm，BD=15cm,线段AC、BD在平面b内射影长的和为14cm,求

⑴　 AC、BD在平面内的射影的长

⑵　 平面与b的距离

17。(本小题满分12分)一个多面体共有10个顶点，每个顶点处都有4条棱，面的形状只有三角形和四边形。求该多面体中三角形和四边形的个数。