18、(1)解法一:联结AC交DB于点O.    ∵ABCD是正方形,∴AC⊥DB.

又PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,    ∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面PBD.

    作OF⊥PB于点F,联结AF,则AF⊥PB.

    ∴∠OFA就是二面角A-PB-D的平面角. …………2分

    ∵PD⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴PA⊥AB.

    令PD=AD=2,则在RTABC中,PA=,AB=2.

    ∴PB=,∴.

    ∴在RTAOF中,sin,∴.

    ∴二面角A-PB-D的大小为.    …………7分

 解法二:建立如图所示的直角坐标系.

    联结AC,交BD于点O,取PA中点G,联结DG.

∵ABCD是正方形,∴AC⊥DB.

    又PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

    ∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面PBD.

    ∵PD⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴PA⊥AB.

    ∴AB⊥平面PAD.

    ∵PD=AD,G为PA中点, ∴GD⊥平面PAB.

故向量分别是平面PBD与平面PAB的法向量.

    令PD=AD=2,则A(2,0,0),C(0,2,0),∴=(-2,2,0).

    ∵P(0,0,2),A(2,0,0), ∴G(1,0,1),∴=(1,0,1).   …………4分

    ∴向量的夹角余弦为

,∴二面角A-PB-D的大小为.    ………7分

(2)解法一: 当点E是线段PB中点时,

有PC⊥平面ADE.         …7分

证明如下:

    取PC中点H,联结EH,DH,则有EH∥BC,

又BC∥AD,故有EH∥AD.

    ∴平面ADE即平面ADHE.     …………9分

   ∵PD=DC,H为PC中点, ∴PC⊥DH.

又∵PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,∴AD⊥PC.

∴PC⊥平面ADHE,即PC⊥平面ADE.       …………14分

解法二:建立如图所示的直角坐标系.

   ∵PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,∴AD⊥PC.

  设E是线段PB上的一点,令.

   令PD=AD=2,则P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),

C(0,2,0),

 ∴(-2,0,2),(2,2,-2),(0,2,-2).

.

.  

2(-)=0,得.

∴当,即点E是线段PB中点时,有AE⊥PC.

又∵PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,∴AD⊥PC.

∴当点E是线段PB中点时,有PC⊥平面ADE.   …………14分

 0  51620  51628  51634  51638  51644  51646  51650  51656  51658  51664  51670  51674  51676  51680  51686  51688  51694  51698  51700  51704  51706  51710  51712  51714  51715  51716  51718  51719  51720  51722  51724  51728  51730  51734  51736  51740  51746  51748  51754  51758  51760  51764  51770  51776  51778  51784  51788  51790  51796  51800  51806  51814  447348 

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