第12讲   三角函数

高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出。因此,在复习过程中既要注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识。

一、知识整合

1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等;熟悉三角变换常用的方法――化弦法,降幂法,角的变换法等;并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明;掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式解决一些实际问题.

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2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点,并会用五点画出函数的图象;理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化.

2004年各地高考中本部分所占分值在17~22分,主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分,我认为有以下几个层次:

第一层次:通过诱导公式和倍角公式的简单运用,解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。

第二层次:三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。

第三层次:充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质,解决较复杂的函数问题。如分段函数值,求复合函数值域等。

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三、方法技巧

1.三角函数恒等变形的基本策略。

(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx?cotx=tan45°等。

(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:α=(α+β)-β,β=-等。

(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。

(4)引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+),这里辅助角所在象限由a、b的符号确定,角的值由tan=确定。

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2.证明三角等式的思路和方法。

(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。

(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

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3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。

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4.解答三角高考题的策略。

(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。

(2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。

(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。

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四、例题分析

例1.已知,求(1);(2)的值.

解:(1);

     (2) 

         .

说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。

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例2.求函数的值域。

解:设,则原函数可化为

,因为,所以

当时,,当时,,

所以,函数的值域为。

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例3.已知函数。

(1)求的最小正周期、的最大值及此时x的集合;

(2)证明:函数的图像关于直线对称。

解: 

       

(1)所以的最小正周期,因为,

所以,当,即时,最大值为;

(2)证明:欲证明函数的图像关于直线对称,只要证明对任意,有成立,

因为,

所以成立,从而函数的图像关于直线对称。

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例4. 已知函数y=cos2x+sinx?cosx+1  (x∈R),

(1)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;

(2)该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

解:(1)y=cos2x+sinx?cosx+1= (2cos2x-1)+ +(2sinx?cosx)+1

=cos2x+sin2x+=(cos2x?sin+sin2x?cos)+

=sin(2x+)+

所以y取最大值时,只需2x+=+2kπ,(k∈Z),即  x=+kπ,(k∈Z)。

所以当函数y取最大值时,自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}

(2)将函数y=sinx依次进行如下变换:

(i)把函数y=sinx的图像向左平移,得到函数y=sin(x+)的图像;

(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图像;

(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图像;

(iv)把得到的图像向上平移个单位长度,得到函数y=sin(2x+)+的图像。

综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。

说明:本题是2000年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法:一是化成关于sinx,cosx的齐次式,降幂后最终化成y=sin (ωx+)+k的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当cosx=0时,y=1;当cosx≠0时,y=+1=+1

化简得:2(y-1)tan2x-tanx+2y-3=0

∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3) ≥0,解之得:≤y≤

∴ymax=,此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}

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例5.已知函数

   (Ⅰ)将f(x)写成的形式,并求其图象对称中心的横坐标;

   (Ⅱ)如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,试求x的范围及此时函数f(x)的值域.

解: 

(Ⅰ)由=0即

即对称中心的横坐标为

(Ⅱ)由已知b2=ac

  即的值域为.

综上所述,    ,          值域为 .

说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力。

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例6.在中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且,

(1)求的值;

(2)若,且a=c,求的面积。

解:(1)由正弦定理及,有,

即,所以,

又因为,,所以,因为,所以,又,所以。

(2)在中,由余弦定理可得,又,

所以有,所以的面积为

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例7.已知向量

,且,

(1)求函数的表达式;

(2)若,求的最大值与最小值。

解:(1),,,又,

所以,

所以,即;

(2)由(1)可得,令导数,解得,列表如下:

 

t

-1

(-1,1)

1

(1,3)

导数

0

0

+

极大值

递减

极小值

递增

而所以。

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例8.已知向量,

(1)    求的值;

(2)    (2)若的值。

解:(1)因为

所以

又因为,所以,

即;

(2) ,

又因为,所以 ,

,所以,所以

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例9.平面直角坐标系有点

(1)       求向量和的夹角的余弦用表示的函数;

(2)       求的最值.

解:(1),

              即         

(2) ,  又    ,

     ,     ,   .

说明:三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意。

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