2009年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）
数 学 （理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前将封闭线内的项目和座位号填写清楚，将考号、座位号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡的相应位置上。
2．答第I卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．考试结束后，监考人员将答题纸和答题卡一并收回。
参考公式：
如果事件
互斥，那么
如果事件相互独立，那么
球的表面积公式
，球的体积公式
，其中
表示球的半径．
．
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集为，
，集合
等于
A．
B．
C．
D．
2．若复数
是虚数单位），且
是纯虚数，则
等于
A．
B．
C．
D．40
3．下列命题错误的是
A．命题“若
，则
“的逆否命题为”若
“
B．若命题
，则
C．若
为假命题，则
，
均为假命题
D．
的充分不必要条件
4．已知结论:“在正三角形ABC中,若D是边BC的中点,G是三角形ABC的重心,则
2“。若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体
中，若
的中心为
，四面体内部一点
到四面体各面的距离都相等，则
=
A．1 B．
5．直线
与圆
相交于
两点，若弦
的中点为
，则直线的方程为
A．
B．
C．
D．
6．在数列
中，若
，则通项
是
A．
B．
C．
D．
7．甲、乙两名同学在五次《数学基本能力》测试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别是
，则下列结论正确的是
A．
，甲比乙成绩稳定
B．，乙比甲成绩稳定
C．
，甲比乙成绩稳定
D．，乙比甲成绩稳定
8．由曲线
和直线
所围成的封闭图形的面积为
A．
B．
C．
D．
9．若实数
满足
，则
有
A．最大值
B．最小值 C．最大值6 D．最小值6
10．在正
中，若点
分别是
的中点，则以
为焦点，且过 的双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
11．若从数字0，1，2，3，4，5中任取三个不同的数作为二次函数
的系数，则与
轴有公共点的二次函数的概率是
A．
B．
C．
D．
12．已知函数
，且函数
在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则
的取值范围
A．
B．
C．（1，2） D．（1，4）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做
答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若
的展开式中
项的系数为70，则
的
值为________________。
14．如图，是一个程序框图，则输出结果为___________。
15．如图，是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的
外接球的体积是_____________。
16．给出下列命题：
①函数
不是周期函数；
②函数
在定义域内为增函数；
③函数
的正小正周期为
；
④函数
的一个对称中心为
其中正确命题的序号为___________。
三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）在
+
（I）求证：为直角三角形；
（Ⅱ）若外接圆半径为1，求周长的取值范围。
18．（本小题满分12分）已知四棱锥
的底面是正
方形，
上的任意一点。
（I）求证：平面
；
（Ⅱ）设
求点
到平面
的距离；
（Ⅲ）当
的值为多少时，二面角
的大小为120°?
19．（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品。
（I）若厂家库房中的每件产品合格率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格的概率。
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任意取2件进行检验，只有2件产品都合格才接收这批产品，否则拒收，求该商家检验出不合格产品数X的分布列及期望E（X），并求该商家拒收这批产品的概率。
20．（本小题满分12分）已知向量
，动点到定直线
的距离等于
，并且满足
，其中为坐标原点，
为非负实数。
（I）求动点的轨迹方程
；
（Ⅱ）若将曲线向左平移一个单位，得曲线
，试判断曲线为何种类型；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中曲线为圆锥曲线，其离心率满足
，当
是曲线的两个焦点时，则圆锥曲线上恒存在点
，使得
成立,求实数的取值范围
21．（本小题满分12分）已知函数
时，函数取得极大值。
（I）求实数
的值；
（Ⅱ）若函数
在区间
内导数都存在，且
，则存在
，使得
，无需证明即可利用上述结论
证明：若
，则对任意
都有
；
（Ⅲ）已知正数
满足
求证：当
时，对任
意大于-1，且互不相等的实数
，…，
,都有
…+
.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，那么按所组的第一题记分，
做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4―1；几何证明选证
在半径为1的圆中，两弦和
交于点
，且
，
的延长于点
。若
，求
的长。
23．（本小题满分10分）选修4―4；坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为
，（
为参数，
为倾斜角，且
）与曲线
=1交于
两点。
（I）写出直线的一般方程及直线通过的定点的坐标；
（Ⅱ）求
的最大值。
24．（本小题满分10分）选修4―5：不等式选讲。
关于的二次方程
有实根，求的取值范围
2009年沈阳市高三年级教学质量检测（二）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 2．C 3．C 4．C 5．A 6．D 7．A 8．A 9．B
10．D 11．A 12．B
二、填空题：本大题4共小题，每小题5分。
13．
14．
15．
16．①④
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（I）
由余弦定理得
整理得得
。
，故
为直角三角形
（Ⅱ）设内角
对边的边长分别是
外接圆半径为1，
周长的取值范围
18．（I）证明：
，
（Ⅱ）解：设
A
设点
到平面
的距离为
，
（Ⅲ解：设
轴建立空间直角坐标宿，为计算方便，不妨设
要使二面角
的大小为120°，则
即当
时，二面角的大小为120°
19．（I）记“厂家任意取出4件产品检验，其中至少有一件是合格品“为事件A，
则
（Ⅱ）
的可能取值为0，1，2，
所以的概率分布为
0
1
2
20．（I）设
（Ⅱ）曲线
向左平移1一个单位，得到曲线
的方程为
（1）当
（2）当
（Ⅲ）
21．（I）
（Ⅱ）令
，
（Ⅲ）用数学归纳法证明
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22．
23．（I）
（
为参数，
为倾斜角，且
）
（Ⅱ）
24．
