1．   设全集U＝R，M＝{x | x＞2}，N＝{x | ＜2}，那么下列关系中正确的是　　　　　

A．M＝N　   B．N Í M　　C．M Í N　　 D．M∩N = F

2．   设复数z满足(2＋i)z＝1－i，那么复数z等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．1－i   B．1＋i   C．＋i   D．－i 

3．   若△ABC的内角满足sinA＋cosA＞0，tanA-sinA＜0，则角A的取值范围是　　　　　　　

A．（0， ）　　B．（，）　　C．（，）　 D．（，p ）

4．   已知等差数列{a _n}的公差为2，若a₁，a₃，a₄成等比数列，则a₂的值为　　　　　　　

　　A．－4     B．－6　　C．－8    D．－10

5．   不等式组 有解，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　

A．（－1，3）　B．（－3，1）C．(－¥，1)∪(3，＋¥)　D．(－∞，－3)∪(1，＋¥)

6．   函数的大致图像是 　　　　　　　　　　　　　　　　　

      A                  B                 C                D

7．   函数f（x）与g(x)＝()^x的图像关于直线y＝x对称，则f（4x- x²）的单调递增区间为　　

　　A．（－¥，2）　B．（0，2）　　C．（2，4）　　　 D．（2，＋¥）

8．   如图，在下列六个图中，每个小四边形皆为全等的正方形，那么沿其正方形相邻边折叠，能够围成正方体的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

① 　　　　　②　　　　　　③　　　　　　④　　　　　　⑤ 　　　　　⑥

 A．① ② ④   B．① ③ ⑤ ⑥   C．② ⑤ ⑥    D．① ③ ⑥ 　　

9．   某批袋装食品的质量服从正态分布N (500，4) (单位：g)，任选购一袋此种食品，其质量在498g～502g之间的概率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．2j (1)－1　　B．1－j (1)　　C．j (1)　　D．j (1)－

10．           将函数y＝sinx－cosx的图像向右平移了j 个单位，所得图像关于y轴对称，则j 的最小正值是　

　　A．　　　 B．　　C．　　　D．

11．                            已知f (x)是R上的偶函数，对x Î R都有f (x＋6)＝f (x)＋f (3)成立，则f(2007)＝　　　　　

　　A．2007       B．2       C． 1       D．0

12．                            已知椭圆 ，则其内接三角形面积的最大值为　　　　　　　　　　　　　

A．6　　B．9　　C．12　　D．12

13．                            在的展开式中常数项是________．　　　　　　　　　　　　

14．                            实数x，y满足方程　x²＋y²＝6x－4y－9，则2x－3y的最大值与最小值的和等于　　　。

15．                            若∆ABC内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则∆ABC的面积S＝r (a+b+c). 若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S₁、S₂ 、S₃ 、S₄，则四面体的体积V＝      

16．                            某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾客从0～9这10个号码中任意抽出六个组成一组，若顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇出的号码相同（不计顺序）即可得奖，则中奖的概率是________．

太  原  五  中

2006―2007学年度第二学期月考试题（5月）

高三数学答卷纸(理)

题　号

一

二

三

总　分

17

18

19

20

21

22

得　分

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13．常数项是________．　　　　　　　　　14．最大值与最小值的和等于　　　。

15．四面体的体积V＝                  　16．中奖的概率是　　　             　　．

17．                            (12分)已知函数f (x)＝2cos²x＋sin2x＋a (aÎ R)．

(Ⅰ)若x∈R，求f（x）的单调递增区间；

　　(Ⅱ)若x∈[0，]时，f（x）的最大值为4，求a的值，并指出这时x的值．

18．                            (12分)如图．已知斜三棱柱ABC- A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱BB₁与底面ABC所成角为，且侧面ABB₁ A₁垂直于底面ABC．

(Ⅰ)求证：点B₁在平面ABC上的射影为AB的中点；

(Ⅱ)求二面角C－AB₁－A₁的大小；

(Ⅲ)求直线B₁C与C₁A所成的角．

19．                            (14分)某人投篮命中率为0.7，且各次投篮的结果互不影响。

(Ⅰ)若连续投中两次就停止，求最多投篮三次就停止的概率；

(Ⅱ)若连续投篮4次，记投中的次数与没投中的次数之差为ξ。

(1)写出ξ的分布列；(2)求ξ的期望与方差。

20．                            （12分）设f (x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，对任意x₁，x₂ Î[0，]，都有f (x₁＋x₂)＝f (x₁) f (x₂)，且f (1)＝a＞0.

（Ⅰ）求f ()及f ()；

（Ⅱ）证明f (x)是周期函数；

（Ⅲ）记a _n＝f (2n＋)，求 (lna _n)。

21．                            （本题12分）已知椭圆C的方程为+=1（a>b>0），双曲线－=1的两条渐近线为l₁、l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.（如图）

（Ⅰ）当l₁与l₂夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当=λ时，求λ的最大值.

22．                            （12分）已知函数f (x)＝x²＋lnx..

(Ⅰ)求函数f (x)在区间[1，e]上的最大值、最小值；

(Ⅱ)求证：在区间[1，＋¥]上，函数f (x)的图象在函数g (x)＝x³的下方；

(Ⅲ)设h (x)＝f ′ (x)，求证：[h (x)] ⁿ＋2≥h (x ⁿ)＋2 ⁿ.

太  原  五  中

2006―2007学年度第二学期月考试题（5月）

高三数学答案(理)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

C

D

C

B

A

C

C

D

A

C

D

B

13．7　　14．24　　　15．R(S₁＋S₂＋S₃＋S₄)　　　16．

17．解：（1）f (x)＝sin2x＋cos2x＋1＋a＝2sin(2x＋)＋1＋a．…………………………3分

　　解不等式2kp－≤2x＋≤2kp＋．

　　得kp－≤x≤kp＋　(k ÎZ)

　　∴　f (x)的单调增区间为[kp－，kp＋]  (k ÎZ)．      ……………………………6分

　　（2）∵　x Î [0，]，　∴　≤2x＋≤．          ……………………………8分

　　∴　当2x＋＝，即x＝时，f (x)_max＝3＋a．         ……………………………10分

　　∵　3＋a＝4，∴　a＝1，此时x＝．                ……………………………12分

18．解析：（1）如图，在平面ABB₁A₁内，过B₁作B₁D⊥AB于D，

　　∵　侧面ABB₁A₁⊥平面ABC，

∴　B₁D⊥平面ABC，∠B₁BA是B₁B与平面ABC所成的角，

∴　∠B₁BA＝60°．               ……………………………2分

　　∵　四边形AB B₁A₁是菱形，

　　∴　△AB B₁为正三角形，

　　∴　D是AB的中点，即B₁在平面ABC上的射影为AB的中点．…………………4分

　　（2）连结CD，∵　△ABC为正三角形，

　　又∵　平面ABB₁A₁⊥平面ABC，平面ABB₁A₁∩平面ABC＝AB，

∴　CD⊥平面ABB₁A₁，在平面ABB₁A₁内，过D作DE⊥A₁B于E，

连结CE，则CE⊥A₁B，

∴　∠CED为二面角C- AB₁-B的平面角．　　　　　 ……………………………6分

在Rt△CED中，CD＝2sin60° ＝，

连结A₁B于O，则BO＝，DE＝BO＝，

∴　tan∠CED＝＝2．　

∴　所求二面角C－AB₁－A₁的大小为p－arctan2． ……………………………8分

　　（3）解：连结BC₁，

　　∵　       BB₁CC₁是菱形　∴　BC₁⊥B₁C.

　　∴　CD⊥平面ABB₁A₁，B₁D⊥AB，　∴　B₁C⊥AB，

　　∴　B₁C⊥平面ABC₁，　∴　B₁C⊥C₁A．      ……………………………12分

19．解：(Ⅰ) 投篮两次就停止的概率为　0.7×0.7＝0.49，

投篮两次停止的概率为　0.3×0.7×0.7＝0.147，

∴　最多投篮三次就停止的概率为P＝0.49＋0.147＝0.637.   ……………………4分

(Ⅱ)解：(1)记连续投篮4次投中的次数为η，则没投中的次数为4－η，

∴　ξ＝η－(4－η)＝2η－4.

∴  ξ的可能取值为－4，－2，0，2，4.                   ……………………6分

P(ξ＝－4)＝0.3⁴＝0.0081，　　　　　　　P(ξ＝－2)＝×0.7×0.3³＝0.0756，

P(ξ＝0)＝×0.7²×0.3²＝0.2646，　　　P(ξ＝2)＝×0.7³×0.3＝0.4116，

P(ξ＝4)＝×0.7⁴＝0.2401.

ξ

－4

－2

0

2

4

P

0.0081

0.0756

0.2646

0.4116

0.2401

ξ的分布列为

………………………10分

(2)∵η～B(4，0.7)，　∴　Eη＝4×0.7＝2.8，Dη＝4×0.7×0.3＝0.84。

∴　 Eξ＝E(2η－4)＝2Eη－4＝5.6－4＝1.6，         ………………………12分

Dξ＝4 Dη＝3.36.                              ………………………14分

20．解：（Ⅰ）令x₁＝x₂＝，得f(1)＝f()²，∴ f()＝。    …………………2分

令x₁＝x₂＝，得f()＝f()²，∴ f()＝.             …………………4分

（Ⅱ）x＝1对称有f(2－x)＝f(x)，又偶函数，∴　f(－x)＝f(x)，…………………5分

于是有f(2－x)＝f(－x)，对于任意x都成立，

用－x换x得f(2＋x)＝f(x)总成立，

∴函数是周期函数，T＝2是它的一个周期。                …………………7分

（Ⅲ）∵f(x)的周期是2，∴a_n＝f(2n＋)＝f()，        ……………………8分

而f()＝f(n×)＝f()f[(n－1)×]＝f()?f()?…?f()＝f ⁿ()

故a_n＝[f()] ，即　a_n＝a .                          ……………………10分

因此， (ln a_n)＝ (ln a )＝ (ln a)＝0。       ……………………12分

21．解：（1）∵双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，又<1，

∴∠POx=30°，即=tan30°=. ∴a=b.             …………………3分

又a²+b²=4， ∴a²=3，b²=1.

故椭圆C的方程为+y²=1.                              ……………………5分

（2）由已知l：y=（x－c），与y=x解得P（，）， …………………7分

由=λ得A（，）             ………………………9分

将A点坐标代入椭圆方程得

（c²+λa²）²+λ²a⁴=（1+λ）²a²c²

∴（e²+λ）²+λ²=e²（1+λ）²                                          ……………………10分

∴λ²==－［（2－e²）+］+3≤3－2

∴λ的最大值为－1.                                  …………………12分

23．                            解：(Ⅰ)∵f ′(x)在区间[1，e]上是增函数，

∴　最大值是＋1，最小值是.                            ………………2分

(Ⅱ)设F(x)＝x²＋lnx－x³，

则F'(x)＝x＋－2x²＝.                  ……………………4分

∵x＞1，∴F'(x)＜0，所以函数F(x)在区间(1，＋¥)上单调递减。…………………5分

又　F(1)＝－＜0，∴　在区间(1，＋¥)上，F(x)＜0，

即　x²＋lnx＜x³.

∴函数f (x)的图象在函数g (x)＝x³的下方.                ……………………7分

(Ⅲ)当n＝1时，不等式成立。                            ……………………8分

当n≥2时，

[h (x)] ⁿ－h (x ⁿ)＝(x＋)ⁿ－(x ⁿ＋)

＝[(x ^n-2＋)＋(x ^n-4＋)＋…＋(x ^n-2＋) ].    ……………10分

由已知x＞0，[h (x)] ⁿ－h (x ⁿ)≥＋＋…＋＝2ⁿ－2，

∴[h (x)] ⁿ＋2≥h (x ⁿ)＋2 ⁿ                                                 ……………………12分