Question

5．如图，平面直角坐标系空间中有图示方向的场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场，Y轴为两种场的分界面，图中虚线为磁场区域的右边界，现有一质量为m、电荷量为-q的带电粒子从电场中坐标位置（-L，0）处，以初速度V₀沿x轴正方向开始运动，且已知$L=\frac{mV_0^2}{Eq}$（重力不计）．
试求：
（1）带电粒子离开电场时的速度？
（2）若带电粒子能返回电场，则此带电粒子在磁场中运动的时间为多大？
（3）要使带电粒子能穿越磁场区域而不再返回电场中，磁场的宽度d应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律与运动学公式，结合运动的合成与分解的规律，即可求解；
（2）由牛顿第二定律，洛伦兹力提供向心力，结合运动轨迹的圆心角，即可求解；
（3）根据图的几何关系，确定已知长度与半径的关系，从而即可求解．

解答 解：
（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，设电场（Y轴）方向上的加速度为a，
由牛顿运动定律得：Eq=ma
设Y轴方向的分速度为V_Y，出电场时的速度为V，
则：由：L=V₀t及V_Y=at得V_Y=V₀
合速度大小为：$V=\sqrt{V_0^2+V_Y^2}=\sqrt{2}{V_0}$
V与Y轴方向的夹角为$θ=arccos\frac{{V}_{Y}}{V}=\frac{π}{4}$
（2）磁场力提供向心力：BqV=m$\frac{V^2}{R}，R=\frac{mV}{Bq}$
则周期为：$T=\frac{2πR}{V}=\frac{2πm}{Bq}$
粒子在磁场中运动了四分之三圆弧，如右图：

则$t=\frac{3}{4}T=\frac{3πm}{2Bq}$
（3）由右图知d＜R（1+cosθ），
则由上面半径R和角度的大小得d＜$\frac{{（1+\sqrt{2}）m{V_0}}}{Bq}$．
答：（1）带电粒子离开电场时的速度大小为$\sqrt{2}{v}_{0}$，方向y轴的夹角为$\frac{π}{4}$；
（2）电粒子能返回电场，则此带电粒子在磁场中运动的时间为$\frac{3πm}{2Bq}$；
（3）要使带电粒子能穿越磁场区域而不再返回电场中，磁场的宽度d应满足：d＜$\frac{{（1+\sqrt{2}）m{V_0}}}{Bq}$条件．

点评 本题考查粒子做类平抛运动与匀速圆周运动，掌握处理类平抛运动与匀速圆周运动的处理方法及其规律的应用，注意画出运动图，及搞清求运动时间时的圆心角．