Question

质量为m的登月器与航天飞机连接在一起，随航天飞机绕月球做半径为3R（ R为月球半径）的圆周运动。当它们运行到轨道的A点时，登月器被弹离, 航天飞机速度变大，登月器速度变小且仍沿原方向运动，随后登月器沿椭圆登上月球表面的B点，在月球表面逗留一段时间后，经快速起动仍沿原椭圆轨道回到分离点A与航天飞机实现对接。已知月球表面的重力加速度为g_月。科学研究表明，天体在椭圆轨道
上运行的周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。试求：
（1）登月器与航天飞机一起在圆周轨道上绕月球运行的周期是多少？
（2）若登月器被弹射后,航天飞机的椭圆轨道长轴为8R，则为保证登月器能顺利返回A点，登月器可以在月球表面逗留的时间是多少？

Answer 1

（1）设登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行时的周期为T，因其绕月球作圆周运动，所以应满足-------------①
同时月球表面的物体所受重力和引力的关系满足--------------②
联立①②得 --------------③ （4分）
（2）设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T1，航天飞机在大椭圆轨道运行的周期是T2。对登月器依题意有：------④
解得-----⑤（2分）
对航天飞机依题意有：-----------⑥
解得 ------⑦（2分）
为使经登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足：t="nT2-T1" （其中，n=1、2、3、）-----⑧
联立③⑤⑦⑧得 （其中，n=1、2、3、） （4分）

略