Question

14．如图所示，在x＜0的区域存在沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E=$\frac{q{B}^{2}d}{m}$，在x＞0的区域Ⅰ、Ⅱ中存在磁感应强度等大反向的有界匀强磁场，区域Ⅰ的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外．现将一质量为m、电荷量为q的带正电粒子在x轴上某处由静止释放，不计粒子重力．求：
（1）在x轴负半轴上由静止释放的粒子的释放位置坐标满足什么条件时，粒子不能到达磁场区域Ⅱ；
（2）在（1）中恰好不能到达磁场区域Ⅱ的粒子，从释放到第二次经过y轴运动的时间；
（3）在坐标（-$\frac{2}{3}$d，0）处释放的粒子从释放至第n次回到出发点所需要的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中向右做加速运动，根据动能定理列式，在磁场中做匀速圆周运动，粒子恰不能到达磁场区域Ⅱ的临界轨迹是与两个磁场分界线相切；
（2）画出运动轨迹，根据平均速度公式求解电加速时间，而磁偏转过程是半个周期；
（3）在坐标（-$\frac{2}{3}$d，0）处释放的粒子先电加速，进入区域Ⅰ、Ⅱ后回到O点，在向左匀减速回到出发点，此后不断循环，根据运动学公式和牛顿第二定律列式，求解各段的时间即可．

解答 解：（1）在x轴上恰好不能到达区域Ⅱ的粒子运动轨迹如图甲所示，由图可知粒子运动半径为d，由洛伦兹力提供向心力得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{d}$，
设此粒子在x轴上从（-x₀，0）点处释放，由动能定理得：
qEx₀=$\frac{1}{2}$mv²
两式联立解得：v=$\frac{qBd}{m}$，x₀=$\frac{d}{2}$；
因此在x轴负半轴上满足横坐标x≥-$\frac{d}{2}$处释放的粒子不能到达区域Ⅱ；
（2）设粒子在电场中的运动时间为t₁，有：x₀=$\frac{v}{2}$t₁，
解得：t₁=$\frac{2{x}_{0}}{v}$=$\frac{m}{qB}$，
粒子在区域Ⅰ中的运动时间为：t₂=$\frac{T}{2}=\frac{πm}{qB}$，
因此从释放到第二次经过y轴粒子运动的时间为：t=t₁+t₂=$\frac{m}{qB}（1+π）$；
（3）在坐标（-$\frac{2}{3}$d，0）处释放的粒子在磁场中的运动轨迹如图乙所示，
设粒子第一次到达y轴时速度为v'，则有：qE•$\frac{2}{3}d$=$\frac{1}{2}$mv'²，
解得：v′=$\frac{2\sqrt{3}qBd}{3m}$；
粒子从释放至第一次到达y轴需要的时为：间t'₁=$\frac{\frac{2}{3}d}{\frac{v′}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}m}{3qB}$；
设粒子在磁场中运动的半径为r，则有：qv'B=m$\frac{v{′}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{2}{3}\sqrt{3}d$，
由几何关系得：sinθ=$\frac{d}{r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：θ=60°；
因此粒子在区域Ⅱ中偏转的圆心角为2π-（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$）×2=$\frac{5}{3}$π，
粒子第一次回到出发点所需要的时间为：
t_总=$\frac{\frac{5}{3}π+\frac{2}{3}π}{2π}$T+2t'₁
T=$\frac{2πm}{qB}$，
代入数据得t_总=$\frac{7πm}{3qB}+\frac{{4\sqrt{3}qm}}{3qB}$，
因此第n次回到出发点所需要的时间为：t_n=nt_总=n（$\frac{7πm}{3qB}+\frac{4\sqrt{3}qm}{3qB}$）（n=1，2，3，…）；
答：（1）在x轴负半轴上满足横坐标x≥-$\frac{d}{2}$处释放的粒子不能到达区域Ⅱ；
（2）在（1）中恰好不能到达磁场区域Ⅱ的粒子，从释放到第二次经过y轴运动的时间为$\frac{m}{qB}（1+π）$；
（3）在坐标（-$\frac{2}{3}$d，0）处释放的粒子从释放至第n次回到出发点所需要的时间为（$\frac{7πm}{3qB}+\frac{4\sqrt{3}qm}{3qB}$）（n=1，2，3，…）．

点评 本题是粒子在电磁场中运动的问题，关键是画出运动轨迹，分电加速和磁偏转过程进行研究，找到循环过程．