Question

16．如图所示，一端开口的正方形金属线框abcd边长为l，单位长度电阻为r，金属线框通过导线与电阻R相连构成闭合回路，平行板电容器的两金属板M和N竖直放置，并联在电阻R的两端，金属板M的中央有一小孔，金属线框区域存在着方向垂直纸面向外，磁感应强度均匀增加且变化率为k的匀强磁场B₁，金属板右侧存在着宽为L，左右边界与金属板平行的匀强磁场B₂，方向垂直纸面向里，一质量为m、电荷量为q的带电粒子（不计重力），从N板边缘由静止释放，经过M板的小孔垂直进入右侧磁场，则：
（1）电容器获得的电压是多少？
（2）如果粒子从右侧离开磁场B₂，此时粒子偏离原方向的距离是多少？

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求出abcd中的感应电动势，进而求出MN间的电势差；
（2）根据动能定理求出粒子离开小孔时的速度，根据 牛顿第二定律求出粒子在右边磁场中的圆周运动半径，由几何知识求出偏离原方向的距离．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律，闭合电路的电动势为：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{{l}^{2}×△B}{△t}$=kl²
根据闭合电路的欧姆定律，闭合电路的电流为：
I=$\frac{E}{R+3lr}$=$\frac{k{l}^{2}}{R+3lr}$
电阻R两端的电压为：U_R=IR=$\frac{k{l}^{2}R}{R+3lr}$因电容器与电阻R是并联的，
故电容器获得的电压为：U=U_R=$\frac{k{l}^{2}R}{R+3lr}$
（2）粒子在电容器中受到电场力作用而做匀加速直线运动，设进入右侧磁场的速度为v，有：
qU=$\frac{1}{2}$mv²
解得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$=$\sqrt{\frac{2qk{l}^{2}R}{m（R+3lr）}}$
设粒子做圆周运动的半径为a，根据洛伦兹力提供向心力有：
qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{a}$
得：a=$\frac{m}{q{B}_{2}}\sqrt{\frac{2qk{l}^{2}R}{m（R+3lr）}}$=$\frac{l}{{B}_{2}}\sqrt{\frac{2kRm}{q（R+3lr）}}$
已知粒子从磁场右边界离开，由几何关系知偏转距离为：
d=a-$\sqrt{{a}^{2}-{L}^{2}}$
整理得：d=$\frac{l}{{B}_{2}}\sqrt{\frac{2kRm}{q（R+3lr）}}$-$\sqrt{\frac{2kRm{l}^{2}}{（R+3lr）q{B}_{2}^{2}}-{L}^{2}}$
答：（1）电容器获得的电压是$\frac{k{l}^{2}R}{R+3lr}$
（2）如果粒子从右侧离开磁场B₂，此时粒子偏离原方向的距离是$\frac{l}{{B}_{2}}\sqrt{\frac{2kRm}{q（R+3lr）}}$-$\sqrt{\frac{2kRm{l}^{2}}{（R+3lr）q{B}_{2}^{2}}-{L}^{2}}$．

点评 本题考查带电粒子在磁场中匀速圆周运动和电磁感应的综合．注意本题中的电动势为感生电动势，要会正确的认清等效电路，同时明确带电粒子在磁场运动中的规律应用．