Question

18．如图甲所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，场强大小E=$\frac{{\sqrt{3}mv_0^2}}{3eL}$，右侧有一个以点（3L，0）为中心、边长为2L的正方形区域，其边界ab与x轴平行，正方形区域与x轴的交点分别为M、N．现有一质量为m，带电量为e的电子，从y轴上的A点以速度v₀沿x轴正方向射入电场，飞出电场后从M点进入正方形区域．

（1）求电子进入正方形磁场区域时的速度v；
（2）在正方形区域加垂直纸面向里的匀强磁场B，使电子从正方形区域边界点d点射出，则B的大小为多少；
（3）若当电子到达M点时，在正方形区域加如图乙所示周期性变化的磁场（以垂直于纸面向外为磁场正方向），最后电子运动一段时间后从N点飞出，速度方向与电子进入磁场时的速度方向相同，求正方形磁场区域磁感应强度B₀的大小、磁场变化周期T各应满足的表达式．

Answer 1

分析 （1）电子在电场中作类平抛运动，根据水平位移和竖直位移，由位移公式和牛顿第二定律结合求解电子进入正方形磁场区域时的速度v．
（2）画出电子在磁场中的运动轨迹，由几何关系求出轨迹半径，由洛伦兹力提供向心力列式，求解B的大小．
（3）在磁场变化的半个周期内电子的偏转角为60°，由几何知识得到在磁场变化的半个周期内，粒子在x轴方向上的位移等于电子的轨迹半径R，由题意，粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：2nR=2L，由牛顿第二定律得到半径R=$\frac{mv}{e{B}_{0}}$，联立得到磁感应强度B₀的大小表达式．电子在磁场变化的半个周期恰好转过$\frac{1}{6}$圆周，同时MN间运动时间是磁场变化半周期的整数倍时，可使粒子到达N点并且速度满足题设要求，应满足的时间条件：$\frac{T}{2}$，而T=$\frac{2πm}{e{B}_{0}}$，可求得T的表达式．

解答 解：（1）电子在电场中作类平抛运动，射出电场时，如图1所示．

电子在电场中的时间：t=$\frac{L}{{v}_{0}}$
 ${v_y}=\frac{Eet}{m}=\frac{{\sqrt{3}{v_0}}}{3}$
所以：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}}{3}$
与x轴正方向的夹角：$cosθ=\frac{v_0}{v}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，θ=30°
（2）由几何关系电子的半径 R₁=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}L$
由牛顿第二定律：$evB=m\frac{v^2}{R_1}$
联立⑤⑥得：$B=\frac{{2m{v_0}}}{eL}$
（3）在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°（如图2），所以，在磁场变化的半个周期内，粒子在x轴方向上的位移恰好等于R．粒子到达N点而且速度符合要
求的空间条件是：2nR=2L 
电子在磁场作圆周运动的轨道半径 $R=\frac{mv}{{e{B_0}}}$）
解得${B_0}=\frac{{2\sqrt{3}nm{v_0}}}{3eL}$（n=1、2、3…）
若粒子在磁场变化的半个周期恰好转过$\frac{1}{6}$圆周，同时MN间运动时间是磁场变化周期的整数倍时，可使粒子到达N点并且速度满足题设要求．应满足的时间条件：$2n\frac{1}{6}{T_0}=nT$
又 ${T_0}=\frac{2πm}{{e{B_0}}}$
代入T的表达式得：T=$\frac{{\sqrt{3}πL}}{{3n{v_0}}}$（n=1、2、3…）
答：
（1）电子进入正方形磁场区域时的速度v为$\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}}{3}$，方向与水平方向成30°斜向下；
（2）B的大小为$\frac{2m{v}_{0}}{eL}$；
（3）正方形磁场区域磁感应强度B₀的大小为$\frac{2\sqrt{3}nm{v}_{0}}{3eL}$（n=1、2、3…），磁场变化周期T为$\frac{{\sqrt{3}πL}}{{3n{v_0}}}$（n=1、2、3…）．

点评 电子在电场中，关键是将粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，然后根据牛顿运动定律和运动学公式列式分析求解；在磁场中，关键要画出轨迹图分析，特别是第三小题，要抓住周期性，根据几何关系求解电子的半径满足的条件．