Question

10．如图所示，平面直角坐标系xOy第一象限存在匀强电场，电场与x轴夹角为60°，在边长为L的正三角形PQR范围内存在匀强磁场，PR与y轴重合，Q点在x轴上，磁感应强度为B，方向垂直坐标平面向里．一束包含各种速率带正电的粒子，由Q点沿x轴正方向射入磁场，粒子质量为m，电荷量为q，重力不计．
（1）判断由磁场PQ边界射出的粒子，能否进入第一象限的电场？
（2）若某一速率的粒子离开磁场后，恰好垂直电场方向进入第一象限，求该粒子的初速度大小和进入第一象限位置的纵坐标；
（3）若问题（2）中的粒子离开第一象限时，速度方向与x轴夹角为30°，求该粒子经过x轴的坐标值．

Answer 1

分析 （1）描出某一条由PQ边界出场的运动轨迹，由几何关系可知粒子射出磁场速度与PQ的夹角为30°，与x轴间夹角为60°，所以一定能够进入第一象限．
（2）粒子垂直电场进入第一象限，画出运动轨迹．由几何关系得半径和坐标，由牛顿运动定律解速度；
（3）由几何关系可知OD长度和DS长度，再根据平抛运动的规律和几何知识得粒子经过x轴的坐标值．

解答 解：（1）画出某一条由PQ边界射出磁场的粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知粒子射出磁场时速度与PQ的夹角为30°，与x轴间夹角为60°，所以一定能够进入第一象限．
 
（2）若粒子垂直电场进入第一象限，则轨迹如图所示．由几何关系可知半径转过的圆心角为30°，
半径r=2OQ=$\sqrt{3}$L   
由洛伦兹力提供向心力得：qv₀B=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{r}$  
可得v₀=$\frac{\sqrt{3}qBL}{m}$ 
离开磁场时纵坐标：y=r-rcos30°=（$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$）L  
（3）粒子在电场中运动轨迹如图所示，由几何关系可知OD长度x₁=ytan30°=（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）L  
DS长度y₁=2x₁=（2-$\sqrt{3}$）L
设DO₁长度为y₂，在△DO₁F中O₁F长度为$\sqrt{3}$y₂，由平抛运动中某时刻速度方向角α与位移方向角β关系：tanα=2tanβ
有$\frac{y1+y2}{\sqrt{3}y2}$×2=tan60°
得y₂=2（2-$\sqrt{3}$）L    
则DF的长度x₂=2y₂=4（2-$\sqrt{3}$）L  
所以F点的坐标为x=x₁+x₂=9（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）L
答：（1）由磁场PQ边界射出的粒子，能进入第一象限的电场；
（2）若某一速率的粒子离开磁场后，恰好垂直电场方向进入第一象限，该粒子的初速度大小是$\frac{\sqrt{3}qBL}{m}$，进入第一象限位置的纵坐标是（$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$）L；
（3）若问题（2）中的粒子离开第一象限时，速度方向与x轴夹角为30°，该粒子经过x轴的坐标值是9（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）L

点评 本题主要考查了带电粒子在组合场中运动的问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况，再通过受力情况分析粒子的运动情况，熟练掌握圆周运动及平抛运动的基本公式，难度较大．