题目内容
12．
如图所示，在平面坐标系的第一象限内，有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，在第二象限内存一个垂直于纸面向外的圆形有界匀强磁场，磁场边界刚好与x轴相切于P点，Q点是x轴正半轴上的一点，且OQ=OP=d；一带正电的粒子以速度v从P点进入圆形有界磁场，速度v的方向与轴的夹角θ=37°，粒子经磁场偏转后垂直于y轴进入电场，恰好能打在Q点．粒子的比荷为k，不计粒子的重力，求：（1）匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）粒子从P点运动到Q点所用的时间；
（3）圆形有界磁场的面积．
分析 （1）由类平抛运动得到粒子进入电场时的竖直高度，再通过在磁场中的圆周运动的轨迹的几何关系得到半径，进而得到磁感应强度；
（2）将粒子做圆周运动的周期及中心角、离开磁场的位置求解出来，粒子做类平抛运动的时间，及粒子离开磁场，进入电场前做匀速直线运动，分三段求解后累加即可；
（3）磁场边界与x轴相切与P点，则P点的径向为竖直方向，且圆心在圆上弦长的垂直平分线上，即可根据几何关系求得半径．
解答 解：（1）由于粒子以速度v垂直y轴进入电场，故粒子离开磁场时的速度方向为水平向右方向；由左手定则可判断，粒子在P点向右下方偏转；则粒子运动轨迹如图所示，
，
粒子在电场中做类平抛运动，刚好能运动Q点，设在y 轴上的入射点坐标为（0，y），则$y=\frac{1}{2}a{{t}_{3}}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{qE}{m}×（\frac{d}{v}）^{2}=\frac{kE{d}^{2}}{2{v}^{2}}$；
粒子在磁场中运动，洛伦兹力做向心力，故有：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{mv}{Bq}=\frac{v}{kB}$；
那么由几何关系可得：R-Rcosθ=R（1-cos37°）=0.2R=y，所以R=5y；
所以，$B=\frac{v}{kR}=\frac{v}{5ky}$=$\frac{2{v}^{3}}{5{k}^{2}E{d}^{2}}$；
（2）粒子在磁场中运动的时间为${t}_{1}=\frac{37°}{360°}T=\frac{37}{360}×\frac{2πR}{v}$=$\frac{37}{360}×\frac{2π}{kB}=\frac{37×2π×5kE{d}^{2}}{360×2{v}^{3}}=\frac{37πkE{d}^{2}}{72{v}^{3}}$；
在没有磁场的空间运动的距离为$s=d-Rsin37°=d-\frac{3}{5}R$=$d-3y=d-\frac{3kE{d}^{2}}{2{v}^{2}}$；
因此在没有磁场的空间内运动的时间为${t}_{2}=\frac{s}{v}=\frac{d}{v}-\frac{3kE{d}^{2}}{2{v}^{3}}$；
在电场中运动的时间为${t}_{3}=\frac{d}{v}$；
因此从 P 点运动到Q 点的时间为$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{2d}{v}+（\frac{37π}{72}-\frac{3}{2}）\frac{kE{d}^{2}}{{v}^{3}}$；
（3）由于粒子做圆周运动的圆与有界磁场的边界圆相交，圆心连线与交点连线垂直，且将交点连线平分，O1P竖直，O2与粒子在磁场的出射点的连线也竖直，因此两圆心与两交点构成平行四边形，因此有界磁场的半径r=R；
所以，有界磁场的面积为S=πr2=πR2=25πy2=$\frac{25π{k}^{2}{E}^{2}{d}^{4}}{4{v}^{4}}$；
答：（1）匀强磁场的磁感应强度大小$\frac{2{v}^{3}}{5{k}^{2}E{d}^{2}}$；
（2）粒子从P点运动到Q点所用的时间为$\frac{2d}{v}+（\frac{37π}{72}-\frac{3}{2}）\frac{kE{d}^{2}}{{v}^{3}}$；
（3）圆形有界磁场的面积为$\frac{25π{k}^{2}{E}^{2}{d}^{4}}{4{v}^{4}}$．
点评 带电粒子在磁场中的运动问题，一般由洛伦兹力做向心力，得到半径的表达式，然后再根据几何条件得到粒子运动轨迹，进而求解运动轨迹的相关问题．
开心蛙口算题卡系列答案
如图，容积均为V的汽缸A、B下端有细管（容积可忽略）连通，阀门K2位于细管的中部，A、B的顶部各有一阀门K1、K3，B中有一可自由滑动的活塞（质量、体积均可忽略）．初始时，三个阀门均打开，活塞在B的底部；关闭K2、K3，通过K1给汽缸充气，使A中气体的压强达到大气压p0的3倍后关闭K1．已知室温为27℃，汽缸导热．
如图所示，质量分别为m和M的两长方体物块P和Q，叠放在倾角为θ的固定斜面上．P、Q间的动摩擦因数为μ1，Q与斜面间的动摩擦因数为μ2．当它们从静止释放沿斜面滑下时，两物块始终保持相对静止，则物块P对Q的摩擦力为（ ）| A． | μ1mgcosθ，方向平行于斜面向上 | B． | μ2mgcosθ，方向平行于斜面向下 | ||
| C． | μ2mgcosθ，方向平行于斜面向上 | D． | μ1mgcosθ，方向平行于斜面向下 |
如图所示，质点A受3个力的作用静止在0点，其中F1=8N；F2=6N，方向与F1垂直，用铅笔作出这两个力的合力．由此可判断第三个力大小F3=10N．
如图所示，一物块静止在固定的斜面上，现给物块一个竖直向上的拉力F，且拉力的大小随时间关系满足F=kt（k为常数），则在物块离开斜面前（ ）| A． | 物块有可能会沿斜面向下运动一段距离 | |
| B． | 物块有可能会沿斜面向上运动一段距离 | |
| C． | 物块受到的摩擦力一直在减小 | |
| D． | 物块受到的摩擦力方向先沿斜面向上后沿斜面向下 |
一直桶状容器的高为2l，底面是边长为l的正方形；容器内装满某种透明液体，过容器中心轴DD′、垂直于左右两侧面的剖面图如图所示．容器右侧内壁涂有反光材料，其他内壁涂有吸光材料．在剖面的左下角处有一点光源，已知由液体上表面的D点射出的两束光线相互垂直，求该液体的折射率．
如图，一半径为R的玻璃半球，O点是半球的球心，虚线OO′表示光轴（过球心O与半球底面垂直的直线）．已知玻璃的折射率为1.5．现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出（不考虑被半球的内表面反射后的光线）．求：