Question

19．如图，容积均为V的汽缸A、B下端有细管（容积可忽略）连通，阀门K₂位于细管的中部，A、B的顶部各有一阀门K₁、K₃，B中有一可自由滑动的活塞（质量、体积均可忽略）．初始时，三个阀门均打开，活塞在B的底部；关闭K₂、K₃，通过K₁给汽缸充气，使A中气体的压强达到大气压p₀的3倍后关闭K₁．已知室温为27℃，汽缸导热．
（i）打开K₂，求稳定时活塞上方气体的体积和压强；
（ii）接着打开K₃，求稳定时活塞的位置；
（iii）再缓慢加热汽缸内气体使其温度升高20℃，求此时活塞下方气体的压强．

Answer 1

分析 （i）分析打开K₂之前和打开K₂后，A、B缸内气体的压强、体积和温度，根据理想气体的状态方程列方程求解；
（ⅱ）打开K₃，分析活塞下方气体压强会不会降至p₀，确定活塞所处位置；
（ⅲ）缓慢加热汽缸内气体使其温度升高，等容升温过程，由$\frac{{p}_{2}}{T}=\frac{{p}_{3}}{{T}_{3}}$求解此时活塞下方气体的压强．

解答 解：（i）打开K₂之前，A缸内气体p_A=3p₀，B缸内气体p_B=p₀，体积均为V，温度均为T=（273+27）K=300K，打开K₂后，B缸内气体（活塞上方）等温压缩，压缩后体积为V₁，A缸内气体（活塞下方）等温膨胀，膨胀后体积为2V-V₁，活塞上下方压强相等均为p₁，
则：对A缸内（活塞下方）气体：3p₀V=p₁（2V-V₁），
对B缸内（活塞上方）气体：p₀V=p₁V₁，
联立以上两式得：p₁=2p₀，V₁=$\frac{1}{2}V$；
即稳定时活塞上方体积为$\frac{1}{2}V$，压强为2p₀；
（ⅱ）打开K₃，活塞上方与大气相连通，压强变为p₀，则活塞下方气体等温膨胀，假设活塞下方气体压强可降为p₀，则降为p₀时活塞下方气体体积为V₂，则3p₀V=p₀V₂，
得V₂=3V＞2V，即活塞下方气体压强不会降至p₀，此时活塞将处于B气缸顶端，缸内气压为p₂，3p₀V=p₂×2V，得p₂=$\frac{3}{2}{p}_{0}$，即稳定时活塞位于气缸最顶端；
（ⅲ）缓慢加热汽缸内气体使其温度升高，等容升温过程，升温后温度为T₃=（300+20）K=320K，由$\frac{{p}_{2}}{T}=\frac{{p}_{3}}{{T}_{3}}$得：p₃=1.6p₀，即此时活塞下方压强为1.6p₀．
答：（i）打开K₂，稳定时活塞上方气体的体积为$\frac{1}{2}V$，压强为2p₀；
（ii）打开K₃，稳定时位于气缸最顶端；
（iii）缓慢加热汽缸内气体使其温度升高20℃，此时活塞下方气体的压强为1.6p₀．

点评 本题主要是考查了理想气体的状态方程；解答此类问题的方法是：找出不同状态下的三个状态参量，分析理想气体发生的是何种变化，利用理想气体的状态方程列方程求解；本题要能用静力学观点分析各处压强的关系，要注意研究过程中哪些量不变，哪些量变化，选择合适的气体实验定律解决问题．