Question

4．如图所示，在直角坐标系的第Ⅰ象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=0.2T，第Ⅳ象限分布着竖直向上的匀强电场，场强E=4.0×10³V/m．现从图中M（1.8，-1.0）点由静止释放一比荷$\frac{q}{m}$=2×10⁵C/kg的带正电的粒子，该粒子经过电场加速后经x轴上的P点进入磁场，在磁场中运动一段时间后经y轴上的N点离开磁场．不计重力，求：
（1）求粒子到达P点时的速度v
（2）N点的纵坐标；
（3）若仅改变匀强电场的场强大小，粒子仍由M点释放，为使粒子还从N点离开场区，求电场强度改变后的可能值．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做匀加速运动，由动能定理可求进入磁场的初速度；
（2）在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿运动定律求得半径，由几何关系得到N点的纵坐标；
（3）改变匀强电场的场强大小后，粒子进入磁场时的速度改变，将引起磁场中圆周运动半径改变，要想仍从N点射出，必须减小圆周运动半径，因此要减小电场强度；

解答 解：（1）粒子在电场中做匀加速运动，由动能定理可得，
$Eq•\overline{MP}=\frac{1}{2}m{v^2}$…（1）
解得：$v=\sqrt{\frac{2Eq\overline{MP}}{m}}=\sqrt{2×4.0×{10}^{3}×2×{10}^{5}×1.8}$=5.36×10⁴m/s
（2）设微粒质量为m，带电量为q，进入磁场时速度为v，在磁场中偏转半径为R，则：$Bqv=\frac{{m{v^2}}}{R}$…（2）

由以上两式及已知条件$\frac{q}{m}$=2×10⁵C/kg计算可得R=1.0m．如此可做出微粒在磁场中运动轨迹如图1所示．利用几何关系可得：${（\overline{OP}-R）^2}+{\overline{ON}^2}={R^2}$…（3）
将R=1m代入可得：$\overline{ON}=0.6$m…（4）
（3）若减小电场的场强，微粒有可能经两次偏转后再从N点离开磁场，如图2．设微粒在磁场中运动半径为r，利用几何关系得：
${（3r-\overline{OP}）^2}+{\overline{ON}^2}={r^2}$…（5）
代入数据解上式可得：
r₁=0.6m；r₂=0.75m…（6）
因：$r=\frac{mv}{qB}$…（7）
联立（1）（7）两式，将r₁=0.6；r₂=0.75代入后可解得：
E₁=1.44×10³V/m E₂=2.25×10³V/m …（8）
答：（1）求粒子到达P点时的速度v为5.36×10⁴m/s；
（2）N点的纵坐标为0.6m
（3）电场强度改变后的可能值为：E₁=1.44×10³V/m，E₂=2.25×10³V/m

点评 带电离子在复合场中的运动问题是考试的热点，找准关联点（此处为速度相等），分阶段研究粒子的运动规律，建立运动模型；此外，这部分题目运算量较大，提升了解题难度