题目内容
7．
如图所示，在平面坐标系xOy的第一象限内有一半圆形区域，其半径为R，半圆的一条直径与x轴重合，0为该直径的一个端点．半圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场，半圆外存在垂直纸面向外的匀强磁场，半圆内外磁场的磁感应强度大小都为B0，在坐标原点0处有一粒子源，沿x轴正方向不断发射出质量为m、带电荷量为+q的粒子，粒子的发射速度为大于零的任意值（不考虑相对论效应）．已知半圆形边界处存在特殊物质，当粒子由半圆内向半圆外运动时，粒子不受任何影响，但当粒子由半圆外向半圆内运动时，粒子就会被边界处的特殊物质吸收．不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．（1）求从0点发射的所有粒子中，不会从y轴正半轴射入第二象限的粒子速度的取值范围；（已知：tan15°=2-$\sqrt{3}$）
（2）证明最终打在半圆形边界且被特殊物质吸收的粒子，在磁场中运动的总时间都相等，并且求出该时间；
（3）若第一象限内半圆形外区域的磁场存在一上边界y=a，要想使所有粒子都不会从磁场上边界射出，则a至少为多大．
分析 （1）分析不进入第二象限的条件，然后根据几何关系及洛伦兹力作向心力来求解速度范围；
（2）画出打在半圆形边界的图，然后根据几何关系求得粒子运动的中心角，再根据粒子做圆周运动的周期求解时间；
（3）分析粒子运动轨迹，将粒子运动的最高点用半圆半径表示出来，即可求得a的最小值．
解答 解：（1）如图甲所示，当粒子在半圆外做圆周运动恰好与y轴相切时，粒子的速度为不会从y轴正半轴射入第二象限的粒子速度的最小值，
设带电粒子在磁场内做匀速圆周运动的轨道半径为r，轨迹圆心O2与半圆圆心O1连线与 x轴之间的夹角为θ，由几何关系可知：$\left\{\begin{array}{l}{tanθ=\frac{r}{R}}\\{2rsin2θ=r}\end{array}\right.$；
所以，$r=Rtanθ=Rtan15°=（2-\sqrt{3}）R$；
由洛伦兹力作向心力可知，${B}_{0}vq=\frac{m{v}^{2}}{r}$，
所以，$v=\frac{{B}_{0}qr}{m}=\frac{（2-\sqrt{3}）{B}_{0}qR}{m}$；
所以，从0点发射的所有粒子中，不会从y轴正半轴射入第二象限的粒子速度的取值范围为$v≥\frac{（2-\sqrt{3}）{B}_{0}qR}{m}$；
（2）如图乙所示，某一速度粒子的轨迹，最终打在半圆边界上，有几何关系θ1+2θ=180°，（360°-θ2）+2θ=180°，
，
所以θ1+θ2=360°；
所以，带电粒子在磁场中运动的总时间都相等，且为$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{{B}_{0}q}$；
（3）如图丙所示，粒子运动轨迹的最高点为P，粒子在半圆内部运动轨迹圆心O2′与半圆圆心O1连线与x轴之间的夹角为θ′，
则由几何关系可知，${O}_{1}{O}_{2}′=\frac{R}{cosθ′}$，
P点的纵坐标$y=r′+{O}_{1}{O}_{2}′sin3θ′=Rtanθ′+\frac{Rsin3θ′}{cosθ′}$=$R\frac{sin（2θ′-θ′）+sin（2θ′+θ′）}{cosθ′}$=$R\frac{2sin2θ′cosθ′}{cosθ′}=2Rsin2θ′$；
当θ′=45°时，y取得最大值2R，所以，要使所有粒子都不会从磁场上边界射出，a的最小值为2R．
答：（1）从0点发射的所有粒子中，不会从y轴正半轴射入第二象限的粒子速度的取值范围为$v≥\frac{（2-\sqrt{3}）{B}_{0}qR}{m}$；
（2）最终打在半圆形边界且被特殊物质吸收的粒子，在磁场中运动的总时间都相等，并且该时间为$\frac{2πm}{{B}_{0}q}$；
（3）要想使所有粒子都不会从磁场上边界射出，则a至少为2R．
点评 解答带电粒子在磁场中的运动问题，要尽可能画出图，充分利用几何关系来帮助我们分析求解．
如图所示，光滑水平面OB与足够长的粗糙斜面BC相接于B点，一轻弹簧左端固定于竖直墙面，右端被一质量为m的滑块压缩弹簧至D点，然后由静止释放，滑块脱离弹簧后经B点滑上斜面，上升到最大高度h时静止在斜面上．重力加速度为g，以水平面OB为参考平面．下列说法正确的是（ ）| A． | 弹簧弹开滑块的过程中，弹性势能越来越小 | |
| B． | 弹簧对滑块做功为W时，滑块的动能为0.5W | |
| C． | 滑块在斜面上静止时的重力势能为mgh | |
| D． | 滑块在斜面上运动的过程中，克服摩擦力做功为mgh |
信息技术的高速发展，网络购物已经普及到人们的生活中．在某物流公司的货物常常用到如图所示的装置，两根完全相同、轴线在同一水平面内的平行长圆柱上放一均匀木板，木板的重心与两 圆柱等距，其中圆柱的半径 r=2cm，木板质量 m=5kg，木板与圆柱间的动摩擦因数μ=0.2，两圆柱以 角速度ω 绕轴线作相反方向的转动．现施加一过木板重心且平行圆柱轴线的拉力 F 于木板上，使其以速度 v=0.6m/s 沿圆柱表面做匀速运动．取 g=10m/s．下列说法中正确的是（ ）| A． | 若ω=0，则水平拉力 F=20N | |
| B． | 若ω=40rad/s，则水平拉力 F=6N | |
| C． | 若ω=40rad/s，木板移动距离 x=0.5m，则拉力所做的功为 4J | |
| D． | 不论ω 为多大，所需水平拉力恒为 10N |
在垂直于纸面的匀强磁场中，有一原来静止的半衰期极短的原子核，该核首先进行α衰变后，生成的新核不稳定立刻又进行了β衰变，两次衰变后原子核保持静止状态，放出的α粒子和β粒子的运动轨迹可能是图中a、b、c三个轨迹中的某两个，则可以判定（ ）| A． | α粒子和β粒子的运动轨迹分别为图中的b、a | |
| B． | 磁场的方向一定垂直纸面向里 | |
| C． | c表示β粒子的运动轨迹 | |
| D． | α粒子和β粒子的运动轨迹的半径之比为1：2 |
如图所示为等离子体发电机原理的示意图，平行金属板间距为d，有足够的长度跟宽度，其间有匀强磁场，磁感应强度为B，方向如图，等离子体的流速为v，发电机等效内阻为r，负载电阻为R，等离子体从一侧沿着垂直磁场且与极板平行的方向射入极板间．已知电子电量为e，忽略金属板边缘效应，求：