Question

15．如图甲所示，轨道ABC由一个倾角为θ=30^°的斜面AB和一个水平面BC组成，一个可视为质点的质量为m的滑块从A点由静止开始下滑，滑块在轨道ABC上运动的过程中，受到水平向左的恒力F的作用、大小和时间的关系如图乙所示，经过时间t₀滑块经过B点时无机械能损失，最后停在水平轨道BC上，滑块与轨道之间的动摩擦因数μ=0.5，已知重力加速度为g．求：
（1）整个过程中滑块的运动时间；
（2）整个过程中水平恒力F做的功；
（3）整个过程中摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）在0∽t₀这段时间内，由牛顿第二定律求解滑块在斜面上运动时的加速度，根据速度时间关系求解滑块到达B处时的速度，在t₀∽2t₀这段时间内，分析受力，确定运动情况，得到时间，2t₀之后过程中，滑块做匀减速直线运动，由牛顿第二定律求解加速度，结合运动学公式求解时间；
（2）在0∽t₀这段时间内，求解滑块的位移，根据功的定义求解水平拉力做功，求解t₀∽2t₀这段时间内滑块的位移，根据功的定义求解水平拉力做功，整个过程中水平恒力F做功为两次做功之和；
（3）根据功的定义直接求解摩擦力做功．

解答 解：（1）在0∽t₀这段时间内，滑块在斜面AB上运动时，垂直斜面方向的力：
F_N+F₁sinθ-mgcosθ=0
解得：F_N=0
所以滑块不受摩擦力，由牛顿第二定律，滑块在斜面上运动时的加速度：
a₁=$\frac{{F}_{1}cosθ+mgsinθ}{m}$=2g
滑块到达B处时的速度：v_B=a₁t₀=2gt₀
在t₀∽2t₀这段时间内，水平拉力${F}_{2}=\frac{1}{2}mg={F}_{f}=μmg$，所以滑块做匀速直线运动，2t₀之后过程中，滑块做匀减速直线运动，由牛顿第二定律，加速度：
${a}_{2}=μg=\frac{1}{2}g$
运动时间：$t=\frac{{v}_{B}}{{a}_{2}}=4{t}_{0}$
整个过程中滑块的运动时间：t=2t₀+4t₀=6t₀
（2）在0∽t₀这段时间内，滑块的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{0}^{2}=g{t}_{0}^{2}$
水平拉力做功：${W}_{1}={F}_{1}{x}_{1}cosθ=\frac{3}{2}m{g}^{2}{t}_{0}^{2}$
在t₀∽2t₀这段时间内，滑块的位移：${x}_{2}={v}_{1}{t}_{0}=2g{t}_{0}^{2}$
水平拉力做功：${W}_{2}={F}_{2}{x}_{2}=m{g}^{2}{t}_{0}^{2}$
整个过程中水平恒力F做功：$W={W}_{1}+{W}_{2}=\frac{5}{2}m{g}^{2}{t}_{0}^{2}$
（3）2t₀之后过程中，滑块的位移：${x}_{3}=\frac{{v}_{B}^{2}}{2{a}_{2}}=4g{t}_{0}^{2}$
滑块在斜面上运动时，没有摩擦力，在水平面上运动时，摩擦力是恒力，所以，整个过程中，摩擦力做功：
${W}_{f}=-{F}_{f}（{x}_{2}+{x}_{3}）=3m{g}^{2}{t}_{0}^{2}$
答：（1）整个过程中滑块的运动时间为6t₀；
（2）整个过程中水平恒力F做的功为$\frac{5}{2}m{g}^{2}{t}_{0}^{2}$；
（3）整个过程中摩擦力做的功为$3m{g}^{2}{t}_{0}^{2}$．

点评 本题主要考查动能定理、牛顿第二定律及运动学公式的综合应用，本题是多过程问题，按时间顺序进行分析受力情况，由牛顿第二定律、运动学公式和动能定理进行解答．