Question

2．如图所示，一玩溜冰的小孩（可视作质点）质量为m=30kg，他在左侧水平平台上滑行一段距离后平抛，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道．并沿轨道下滑，AB为圆弧两端点，其连线水平，已知从D点以v₀=5m/s的速度向右滑行，经t=0.5s到达E点，圆弧半径为R=1.0m，对应圆心角为θ=106°，平台与AB连线的高度差为h=0.8m，小孩达到圆轨道O点时速度的大小为$\sqrt{33}$m/s（计算过程中取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．求：
（1）小孩运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力；
（2）小孩平抛的初速度和小孩溜冰与平台DE的摩擦因数．

Answer 1

分析 （1）在最低点，重力和支持力的合力提供圆周运动的向心力，根据向心力表达式求出支持力的大小，从而求出小孩对轨道的压力．
（2）由于小孩无碰撞进入圆弧轨道，即小孩落到A点时速度方向沿A点切线方向，根据平抛运动的基本公式及几何关系即可求解；
由运动学在DE段可求加速度，由牛顿第二定律可得摩擦因数．

解答 解：（1）在最低点，据牛顿第二定律，有：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{x}}^{2}}{R}$，
代入数据解得：F_N=1290N
由牛顿第三定律可知，小孩对轨道的压力为1290N．
（2）由于小孩无碰撞进入圆弧轨道，即小孩落到A点时速度方向沿A点切线方向则：
则：tan 53?=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{\;}}$，
又由：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
得：$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
而：
v_y=gt=10×0.4=4m/s
联立以上各式得：
v=3m/s．
由D到E的加速度为：
$a=\frac{v-{v}_{0}}{t}=\frac{3-5}{0.5}=-4m/{s}^{2}$，
由牛顿第二定律：
$a=\frac{-μmg}{m}=-μg$，
解得：
$μ=\frac{a}{-g}=\frac{-4}{-10}=0.4$．
答：
（1）小孩运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力为1290N；
（2）小孩平抛的初速度为3m/s，小孩溜冰与平台DE的摩擦因数为0.4．

点评 解决本题的关键抓住无碰撞地从A进入，得出速度的方向．知道平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动．以及知道知道在圆弧轨道的最低点，沿半径方向上的合力提供圆周运动的向心力