Question

14．宇航员乘坐宇宙飞船登上某星球，在该星球“北极”距星球表面附近h处自由释放一个小球，测得落地时间为t，已知该星球半径为R，自转周期为T，万有引力常量为G．下列说法正确的是（　　）

• A． 该星球的平均密度为$\frac{3h}{{2πRG{t^2}}}$
• B． 该星球的第一宇宙速度为$\frac{2πR}{T}$
• C． 宇宙飞船绕该星球做圆周运动的周期不大于πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$
• D． 如果该星球存在一颗同步卫星，其距星球表面高度为$\root{3}{{\frac{{h{T^2}{R^2}}}{{2{π^2}{t^2}}}}}$

Answer 1

分析 根据自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力讨论即可．

解答 解：根据自由落体运动求得星球表面的重力加速度g=$\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$，
A、由G $\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg，有：M=$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$=$\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$，所以星球的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3h}{2πRG{t}_{\;}^{2}}$，故A正确；
B、星球的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}R}$，故B错误；
C、根据万有引力提供圆周运动向心力有：G $\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$=$m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，垃圾的运行周期：T=2π $\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，可知轨道半径越小周期越小，卫星的最小半径为R，则周期最小Tmin=2π $\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{GM}}$=$2π\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$=$2π\sqrt{\frac{R}{g}}$=$πt\sqrt{\frac{2R}{h}}$，所以宇宙飞船绕星球做圆周运动的周期不小于$πt\sqrt{\frac{2R}{h}}$，故C错误；
D、同步卫星的周期与星球自转周期相同故有：G $\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}$=m $\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$，代入数据解得：h=$\root{3}{\frac{h{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}}$-R，故D错误．
故选：A

点评 本题关键是通过自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解．