Question

3．如图所示，三个质量均为m=1kg的滑块A、B、C置于光滑水平面上．水平面右端与水平传送带之间无缝隙连接，传送带长度L=4m，皮带轮沿顺时针方向转动，带动皮带以恒定速率v=3m/s匀速传动．传送带右下方有一光滑圆弧固定轨道，其半径R=0.6m，直径FE竖直，∠DOF=120°．开始时滑块B、C之间连接有（注：弹簧与滑块C无栓接）一被压缩得不能再压缩的轻弹簧，弹簧被锁定并处于静止状态．滑块A以初速度v₀=2m/s沿B、C连线方向向B运动，与B碰撞后粘合在一起，碰撞时间极短，此时连接B、C的弹簧突然解除锁定，弹簧伸展，从而使C与A、B分离．滑块C脱离弹簧后以速度v₁=2m/s滑上传送带，并从右端水平飞出后，由D点沿圆弧切线落入圆轨道，已知滑块C与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度g取10m/s²．（滑块A、B、C视为质点）求：

（1）滑块C从传送带右端滑出时的速度大小．
（2）判断滑块C能否沿光滑圆轨道到达最高点F，若能，求出滑块C对圆轨道F点的压力大小．若不能，请说明理由？
（3）弹簧最初的弹性势能E_P．

Answer 1

分析 （1）根据速度时间公式求出滑块速度达到传送带速度的时间，结合滑块C的位移判断滑块有无滑离传送带，从而结合运动学公式求出滑块C从右端滑出的速度大小．
（2）根据平行四边形定则求出滑块进入圆弧形轨道的速度，根据机械能守恒定律求出F点的速度，结合F点的最小速度判断有无到达最高点，若到达最高点，根据牛顿第二定律求出轨道对滑块的弹力大小．
（3）根据动量守恒定律和能量守恒定律求出弹簧最初的弹性势能．

解答 解：（1）滑块C滑上传送带有：
μmg=ma
解得a=μg=0.2×10m/s²=2m/s²．
根据v=v₁+at，s=${v}_{1}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$得，
代入数据解得s=1.25m＜L=4m，
所以，滑块C先加速后匀速
则v=3.0m/s．
（2）在D点有：$\frac{v}{{v}_{D}}=cos60°$．
由D点到F点有：$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{F}}^{2}+mgR（1+cos60°）$．
所以${v}_{F}=\sqrt{3gR}=\sqrt{18}m/s=3\sqrt{2}m/s$．
通过F点满足$mg=m\frac{{v}_{F}{′}^{2}}{R}$，${v}_{F}′=\sqrt{gR}=\sqrt{6}m/s$．
因为${v}_{F}=\sqrt{3gR}＞\sqrt{6}m/s$，所以能通过F点．
在F点有：${F}_{N}+mg=m\frac{{{v}_{F}}^{2}}{R}$．
则F_N′=F_N=2mg=20N
（3）A碰B，ABC系统动量守恒，规定A的方向为正方向，根据动量守恒得，mv₀=3mv_ABC，
AB与C分离有：3mv_ABC=2mv_AB+mv₁，
根据能量守恒得，${E}_{p}+\frac{1}{2}×3m{{v}_{ABC}}^{2}=\frac{1}{2}×2m{{v}_{AB}}^{2}$$+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
代入数据解得${E}_{p}=\frac{4}{3}J$
答：（1）滑块C从传送带右端滑出时的速度大小为3m/s．
（2）能，滑块C对圆轨道F点的压力大小为20N．
（3）弹簧最初的弹性势能为$\frac{4}{3}J$．

点评 本题考查了动量守恒定律、能量守恒定律、机械能守恒定律、牛顿第二定律，涉及到圆周运动、平抛运动、匀加速直线运动、匀速直线运动，综合性较强，是一道比较好的力学综合题．