Question

20．如图所示，在竖直平面内，倾角α=30°的粗糙斜面轨道CD的下端与光滑圆弧轨道BC连接，B与圆心O等高，圆弧轨道半径R=1.0m．现有一个质量为m=0.2kg可视为质点的小物体，从B点的正上方A点处自由下落，AB距离h=0.8m，物体与斜面CD之间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，g=10m/s²．（不考虑物体经过C点时机械能的损失）求：
（1）物体第一次通过C点时速度的大小
（2）要使物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度L_AB至少要多长
（3）若斜面已经满足（2）要求，物体从A点开始下落，直至最后停止运动，在此过程中系统因摩擦所产生的热量Q的大小．

Answer 1

分析 （1）对A到C的过程运用机械能守恒定律，求出物体第一次通过C点的速度大小．
（2）抓住物体不能从斜面顶端飞出，对A到D的过程运用动能定理，求出斜面AB的最小长度．
（3）因为物体最终不能停在CD斜面上，最终停在C点，结合能量守恒得出系统因摩擦产生的热量．

解答 解：（1）物体从A到C，由机械能守恒得：
$mg（h+R）=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
代入数据解得：v_c=6m/s．
（2）从A～B～C～D过程，由动能定理得：W_G-W_f=0，
则有：mg（h+R-L_ABsin30°）=μmgcos30°L_AB，
代入数据解得：L_AB=2.4m．
则斜面长度至少为：L_AB=2.4m．
（3）因为mgsin30°＞μmgcos30°，所以物体不会停在斜面上，最终停在C点．
全过程中，系统因摩擦所产生的热量为：
Q=△E_p=mg（h+R），
代入数据解得：Q=3.6J，
在运动过程中产生热量为3.6J．
答：（1）物体第一次通过C点时速度的大小为6m/s；
（2）要使物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度L_AB至少要2.4m；
（3）在此过程中系统因摩擦所产生的热量Q的大小为3.6J．

点评 在考查力学问题时，常常将动能定理、机械能守恒及牛顿第二定律等综合在一起进行考查，并且常常综合平抛、圆周运动及匀变速直线运动等运动的形式．