Question

6．正电子发射计算机断层（PET）是分子水平上的人体功能显像的国际领先技术，它为临床诊断和治疗提供全新的手段．PET所用回旋加速器示意如图，其中置于高真空中的两金属D形盒的半径为R，两盒间距很小，质子在两盒间加速时间可忽略不计．在左侧D₁盒圆心处放有粒子源S不断产生质子，匀强磁场的磁感应强度为B，方向如图所示．质子质量为m，电荷量为q．假设质子从粒子源S进入加速电场时的初速度不计，加速电压为U，保证质子每次经过电场都被加速．
（1）求第1次被加速后质子的速度大小v₁；
（2）经多次加速后，质子最终从出口处射出D形盒，求质子射出时的动能E_km和在回旋加速器中运动的总时间t_总；
（3）若质子束从回旋加速器射出时的平均功率为P，求射出时质子束的等效电流I．

Answer 1

分析 （1）质子在盒间加速时，动能做功引起动能变化，根据动能定理求解第1次被加速后质子的速度大小v₁；
（2）质子最终从出口处射出D形盒时，轨迹半径等于D形盒的半径R，此时速度最大．根据质子磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力列式求质子射出时的动能E_km．由动能定理求出质子被加速的次数，即可结合周期求解出总时间．
（3）由平均功率$P=\frac{{N•\frac{1}{2}mv_m^2}}{t}$，求出在t时间内离开加速器的质子数N，再由电流的定义求解等效电流I．

解答 解：（1）质子第1次被加速后，由动能定理得 $qU=\frac{1}{2}mv_1^2$
得：${v_1}=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，有  $qvB=m\frac{v^2}{r}$
质子做圆周运动的半径  $r=\frac{mv}{qB}$
当r=R时，质子的速度最大，动能最大．
所以最大速度 ${v_m}=\frac{qBR}{m}$，最大动能 ${E_{km}}=\frac{1}{2}mv_m^2=\frac{{{q^2}{B^2}{R^2}}}{2m}$
粒子做圆周运动的周期 $T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$
设质子在电场中加速的次数为n，由动能定理得：$nqU=\frac{1}{2}mv_m^2$
质子在电场中每加速一次，随即在磁场中运动半周，所以 ${t_总}=n•\frac{T}{2}$
联立解得  ${t_总}=\frac{{πB{R^2}}}{2U}$
（3）设在t时间内离开加速器的质子数为N，则质子束从回旋加速器射出时的平均功率 $P=\frac{{N•\frac{1}{2}mv_m^2}}{t}$
输出时质子束的等效电流 $I=\frac{N•q}{t}$
解得  $I=\frac{2mP}{{q{B^2}{R^2}}}$
答：
（1）第1次被加速后质子的速度大小v₁为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）质子射出时的动能E_km为$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$，在回旋加速器中运动的总时间t_总为$\frac{πB{R}^{2}}{2U}$．
（3）射出时质子束的等效电流I为$\frac{2mP}{q{B}^{2}{R}^{2}}$．

点评 解决本题的关键理解回旋加速器的工作原理，知道粒子出回旋加速器时轨道半径，对应的速度最大，根据洛伦兹力等于向心力可求出最大速度．