Question

5．如图所示，静止的圆锥体竖直放置，顶角为α，质量为m且分布均匀的软绳水平的套在圆锥体上，忽略软绳与椎体之间的摩擦力，试求软绳中的张力．

Answer 1

分析 设软绳半径为R，在软绳中任取一小段△l，其质量为$△m=\frac{m}{2πR}△l$，△l作为研究对象，受力有：锥面的支持力N，其方向垂直于锥面，△l两端的张力T及重力△mg，平衡时在水平和竖直两个方向上的合力均为零，根据共点力平衡列方程求解．

解答 解：如图（乙）、（丙）所示，设△l对软绳环中心的张角为△φ，根据共点力平衡条件知，
△l在水平方向上受力平衡，有：$2Tsin\frac{△φ}{2}=Ncos\frac{α}{2}$   ①
因△l很短，△φ很小，所以$sin\frac{△φ}{2}≈\frac{△φ}{2}$    ②
将②代入①式有：T△φ=$Ncos\frac{α}{2}$    ③
△l在竖直方向上也受力平衡，$△mg=Nsin\frac{α}{2}$   ④
④代入③式得，$tan\frac{α}{2}=\frac{△m}{T△φ}g$     ⑤
⑤式中$△m=\frac{m}{2πR}△l=\frac{m△φ}{2π}$，
将其代入⑤式可得$tan\frac{α}{2}=\frac{mg}{2πT}$．

所以软绳中的张力为T=$\frac{mg}{2πtan\frac{α}{2}}$．
答：软绳中的张力为$\frac{mg}{2πtan\frac{α}{2}}$．

点评 本题利用微元法得出一个近似关系$sin\frac{△φ}{2}≈\frac{△φ}{2}$，它作为一种思想，一种技巧，将在以后极为方便地论证一系列重要公式，还可使分析和解决问题的思路变得极为简捷，本题是竞赛题，难度较大．