Question

15．有一种卫星叫做极地卫星，其轨道平面与地球的赤道平面成90°角，它常应用于遥感、探测等．假设有一个极地卫星绕地球做匀速周运动，已知该卫星的运动周期为$\frac{{T}_{0}}{4}$（T₀为地球的自转周期），地球表面的重力加速度为g，地球半径为R．则：
（1）该卫星一昼夜能有8次经过赤道上空；
（2）该卫星离地的高度H是$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}_{0}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．

Answer 1

分析 （1）已知卫星运动周期与地球自转周期间的关系，可以求出卫星一昼夜经过赤道上空的次数．
（2）卫星做圆周运动所需要的向心力由地球的万有引力提供，在地球表面的物体受到的重力等于万有引力，根据这两个关系列式求解．

解答 解：（1）卫星周期T=$\frac{{T}_{0}}{4}$，则卫星一昼夜绕地球转4圈，卫星每个周期经过赤道上空两次，因此一昼夜卫星经过地球赤道上空8次；
（2）卫星绕地球做圆周运动时，由万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
 G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+H）
在地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：
 G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g
联立解得：H=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}_{0}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．
故答案为：（1）8；（2）$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}_{0}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．

点评 万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律列方程可以求出卫星距地面的高度，解题时注意“黄金代换式”g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$的应用．