Question

13．如图所示，小球沿水平面以初速v₀通过O点进入半径为R的竖直半圆弧轨道，不计一切阻力，则（　　）

• A． 球进入竖直半圆轨道后做匀速圆周运动
• B． 若小球能通过半圆弧最高点P，则球在P点受力平衡
• C． 若小球的初速度v₀=3$\sqrt{gR}$，则小球一定能通过P点
• D． 若小球恰能通过半圆弧最高点P，则小球落地点离O点的水平距离为2R

Answer 1

分析 不计一切阻力，球进入半圆轨道的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律分析其速率的变化．在P点时，小球受力并不平衡．小球要通过P点，向心力必须大于等于重力，列式可得出小球通过P点的速度条件，再由机械能守恒求出v₀．若小球能通过半圆弧最高点P，之后小球做平抛运动，由平抛运动的规律求解水平距离．

解答 解：A、球进入竖直半圆轨道后，随着高度的上升，重力势能增加，根据机械能守恒定律可知，其动能减小，速率减小，做变速圆周运动，故A错误．
B、若小球能通过半圆弧最高点P，小球所受的合力不为零，提供向心力，则球在P点受力不平衡．故B错误．
C、小球恰好通过P点，则有mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$，v_P=$\sqrt{gR}$
设小球的初速度为v．由机械能守恒定律得：mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，联立解得 v=$\sqrt{5gR}$
由于v₀=3$\sqrt{gR}$＞v，所以小球一定能通过P点，故C正确．
D、若小球恰能通过半圆弧最高点P，之后做平抛运动，则有 2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，得t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
水平距离为 x=v_Pt，当v_P=$\sqrt{gR}$时，水平距离最小，为 x=$\sqrt{gR}$•2$\sqrt{\frac{R}{g}}$=2R，故D正确．
故选：CD．

点评 本题关键分析清楚物体的运动过程，然后结合平抛运动和机械能守恒、向心力等相关知识求解．