Question

3．如图所示，斜面AB与半径为R的光滑圆弧轨道相切与B点，斜面的倾斜角为θ=53°．质量为m的滑块（视作质点）在斜面上A点静止释放，滑块与斜面之间的滑动摩擦因数为μ=0.4，重力加速度为g=10m/s²．若滑块恰可通过圆弧轨道的最高点D，求：
（1）滑块滑到与轨道圆心等高的C点时对轨道的压力；
（2）A、B两点之间的竖直高度差h是多少？
（已知 sin53°=0.8，cos53°=0.6）

Answer 1

分析 （1）抓住滑块恰好通过最高点D，结合牛顿第二定律求出D点的速度，根据机械能守恒定律得出C点的速度，抓住径向的合力提供向心力求出滑块滑到与轨道圆心等高的C点时对轨道的压力．
（2）对A到D的过程运用动能定理求出A、B两点之间的竖直高度差h．

解答 解：（1）在D点，重力提供向心力，有：mg=$m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
解得：${v}_{D}=\sqrt{gR}$，
C→D只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒得：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}+mgR$，
在C点有：${F}_{N}=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
根据牛顿第三定律得：F_N′=F_N
联立解得：F_N′=3mg．
（2）对A→D用动能定理有：$mgh-μmgcos53°•\frac{h}{sin53°}$-mgR（1+cos53°）=$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-0$，
解得：h=3R．
答：（1）滑块滑到与轨道圆心等高的C点时对轨道的压力为3mg．
（2）A、B两点之间的竖直高度差h是3R．

点评 本题考查了动能定理、机械能守恒和牛顿第二定律的综合运用，知道滑块在D点和C点向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解．