Question

4．如图所示，倾角θ=30°的斜面体C静置于水平面上，质量为m的小物块在沿斜面向上的恒力作用下，从A点由静止开始运动，物块与斜面间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，重力加速度为g．
（1）若斜面体保持静止，物块由A运动到B历时为t，A、B间距为x．求恒力的大小F：
（2）在（1）情况下，物块运动过程中，求斜面体受到水平面的摩擦力．
（3）若水平面光滑，物块在沿斜面向上、大小为F₀的恒力作用下，与斜面体C保持相对静止、一起运动，且两者间无相对滑动趋势，求斜面体的质量M．

Answer 1

分析 （1）根据加速度的定义式可得加速度大小；以物体为研究对象，根据牛顿第二定律可得恒力F大小；
（2）以斜面为研究对象进行受力分析，水平方向根据共点力的平衡条件可得地面对斜面的摩擦力；
（3）以m为研究对象，在水平方向和竖直方向根据牛顿第二定律列方程；再以整体为研究对象，水平方向根据牛顿第二定律列方程联立求解．

解答 解：（1）设物块运动的加速度大小a，则有：
$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}$                     
对物块受力分析如答图，根据牛顿第二定律，
沿斜面方向  F-mgsinθ-μN₁=ma
垂直斜面方向  N₁=mgcosθ
解得：F=$m（g+\frac{2x}{{t}^{2}}）$
（2）设斜面体受到水平面的摩擦力为F_f，对斜面体受力分析如答图，水平方向由平衡条件有：
F_f=fcosθ+N₁sinθ
解得：${F}_{f}=\frac{\sqrt{3}}{2}mg$
方向水平向左                        
（3）设物块与斜面间的弹力为N₂，加速度为a₂，由牛顿第二定律，
对斜面体  N₂sinθ=Ma₂
对物块  F₀cosθ-N₂sinθ=ma₂
F₀sinθ+N₂cosθ-mg=0
解得：M=$\frac{m（2mg-{F}_{0}）}{4{F}_{0}-2mg}$
答：（1）恒力的大小F为$m（g+\frac{2x}{{t}^{2}}）$：
（2）在（1）情况下，物块运动过程中，斜面体受到水平面的摩擦力为$\frac{\sqrt{3}}{2}mg$，方向水平向左．
（3）斜面体的质量M为$\frac{m（2mg-{F}_{0}）}{4{F}_{0}-2mg}$．

点评 对于牛顿第二定律的综合应用问题，关键是弄清楚物体的运动过程和受力情况，利用牛顿第二定律或运动学的计算公式求解加速度，再根据题目要求进行解答；知道加速度是联系静力学和运动学的桥梁．