Question

3．如图所示，在一个倾角为θ的光滑斜面底端有一个挡板，物体B和物体C用劲度系数为k的轻弹簧连接，静止在斜面上，将一个物体A从距离物体B为H处由静止释放，沿斜面下落后与物体B碰撞，碰撞后A与B黏合在一起并立刻向下运动，在以后的运动中A、B不再分离．已知物体A、B、C的质量均为M，重力加速度为g，忽略空气阻力．
（1）求A与B碰撞后瞬间的速度大小．
（2）A和B一起运动达到最大速度时，物体C对水平地面的压力为多大？
（3）开始时，物体A从距B多大距离由静止释放时，在以后的运动中才能使物体C恰好离开挡板．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律求出A与B碰前的速度，然后由动量守恒定律求出碰后瞬间的共同速度．
（2）和B一起运动达到最大速度时合力为零，可得到弹簧的弹力大小，再对C研究，由平衡条件及牛顿第三定律求出C对地面的压力．
（3）物体C恰好离开挡板时，弹簧的拉力应等于其重力沿斜面向下的分力，由机械能守恒定律求出A的下落高度．

解答 解：（1）设物体A与B碰前速度为v₁，对物体A，由机械能守恒定律得：
MgHsinθ=$\frac{1}{2}$Mv₁²，
解得：v₁=$\sqrt{2gHsinθ}$．
设A、B碰撞后共同速度为v₂，取向下为正方向，则由动量守恒定律得：
 Mv₁=2Mv₂，
解得：v₂=$\sqrt{\frac{1}{2}gHsinθ}$．
（2）当A、B达到最大速度时，A、B所受合外力为零，设此时弹力为F，对A、B由平衡条件得：F=2Mgsinθ．
设地面对C的支持力为N，对ABC整体，因加速度为零，所以根据牛顿第二定律得：N=3Mgsinθ．
由牛顿第三定律得C对地面的压力大小为：N′=3Mgsinθ．
（3）设物体A从距B的高度h处滑下时才能使物体C恰好离开挡板，根据（1）的结果，
A、B碰撞后共同速度为：v₂=$\sqrt{\frac{1}{2}ghsinθ}$．
当C刚好离开地面时，弹簧的弹力为：F=Mgsinθ
由胡克定律得弹簧伸长量为：x=$\frac{F}{k}$=$\frac{Mgsinθ}{k}$．
根据对称性，当A、B一起上升到弹簧伸长为x时弹簧的势能与A、B碰撞后瞬间的弹性势能相等．则对A、B一起运动到C刚好离开地面的过程中，由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}$×2Mv₂²=2Mgsinθ•2x
联立以上方程解得：h=$\frac{8Mgsinθ}{k}$
答：（1）A与B碰撞后瞬间的速度大小为$\sqrt{\frac{1}{2}gHsinθ}$．．
（2）A和B一起运动达到最大速度时，物体C对水平地面的压力为3Mgsinθ．
（3）开始时，物体A从距B的距离为$\frac{8Mgsinθ}{k}$处由静止释放时，在以后的运动中才能使物体C恰好离开挡板．

点评 解决本题的关键要分析清楚物体的运动过程，把握C离开挡板时的临界条件，应用动量守恒定律、机械能守恒定律、牛顿运动定律、平衡条件即可正确解题．