Question

15．如图甲所示，在匀强磁场中有一矩形闭合线圈abcd，其平面与磁场垂直，已知线圈匝数n=10，边长ab=1.0m，bc=0.6m，总电阻R=2.0Ω，若通过线圈的磁通量Φ的变化关系如图乙所示（磁场方向垂直纸面向里为正方形），试求：

（1）t=5s时线圈内产生的感应电动势的大小和感应电流的方向；
（2）t=0到t=1s的时间内，通过金属导线横截面的电荷量．
（3）t=0到t=8s的时间内，线圈中产生的感应电流所做的电功．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求感应电动势，由楞次定律判断感应电流的方向．
（2）由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式q=$\overline{I}$△t结合求电荷量．
（3）线圈中产生的方波式电流，根据有效值的定义，求感应电动势的有效值，再由焦耳定律求电功．

解答 解：（1）t=5s时，根据法拉第电磁感应定律得：
感应电动势大小为 E₅=n$\frac{△Φ}{△t}$=10×$\frac{0.8}{1}$V=8V
由楞次定律知，感应电流方向沿逆时针方向．
（2）t=0到t=1s的时间内，感应电动势的平均值 $\overline{E}$=n$\frac{△Φ}{△t}$
感应电流的平均值 $\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R}$
通过金属导线横截面的电荷量 q=$\overline{I}$△t
联立得 q=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{0.8}{2}$C=0.4C
（3）由于0-1s内和4-5s内图象平行，斜率相等，即$\frac{△Φ}{△t}$相同，产生的感应电动势相同，均为8V，方向沿逆时针；同理可得，2-3s内和6-7s内产生的感应电动势相同，均为8V，方向沿顺时针；1-2s内和5-6s内感应电动势为0
设此感应电动势的有效值为E．根据有效值的定义得：
  2×$\frac{{E}_{5}^{2}}{R}×$$\frac{T}{3}$=$\frac{{E}^{2}}{R}T$
解得 E=$\sqrt{\frac{2}{3}}{E}_{5}$=$\frac{8\sqrt{6}}{3}$V
则t=0到t=8s的时间内，线圈中产生的感应电流所做的电功为 W=2×$\frac{{E}^{2}}{R}$T=2×$\frac{（\frac{8\sqrt{6}}{3}）^{2}}{2}$×3J=128J
答：
（1）t=5s时线圈内产生的感应电动势的大小为8V，感应电流的方向为逆时针方向；
（2）t=0到t=1s的时间内，通过金属导线横截面的电荷量是0.4C．
（3）t=0到t=8s的时间内，线圈中产生的感应电流所做的电功是128J．

点评 本题中线圈产生的是交变电流，在求电荷量时用感应电动势的平均值，求电功时要用感应电动势的有效值，而有效值要紧扣定义解出．