Question

8．如图所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R₁连接成闭合回路，线圈的半径为r₁，在线圈中板间为r₂的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图（b）所示，图线与横、纵轴的交点坐标分别为t₀和B₀，导线的电阻不计，求：
（1）a、b两点间的电势差U_ab；
（2）0至t₀时间内通过R₁的电荷量q．

Answer 1

分析 线圈平面垂直处于匀强磁场中，当磁感应强度随着时间均匀变化时，线圈中的磁通量发生变化，从而导致出现感应电动势，产生感应电流．根据欧姆定律计算电势差的大小，进而计算通过R₁的电荷量q．

解答 解：（1）由图象分析可知，0至t₁时间内有：$\frac{△B}{△t}=\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}$
由法拉第电磁感应定律有：$E=n\frac{△∅}{△t}=n\frac{△B}{△t}s$
而$s={πr}_{2}^{2}$
由闭合电路欧姆定律有：${I}_{1}=\frac{E}{{R}_{1}+R}$
a、b两点间的电势差为：U_ab=I₁R₁=$\frac{E}{{R}_{1}+R}{R}_{1}$=$\frac{2}{3}E$=$\frac{2N{B}_{0}π{r}_{2}^{2}}{3}$
（2）通过电阻R₁上的电量为：$q={I}_{1}{t}_{0}=N\frac{△Φ}{3R}=\frac{n{B}_{0}π{r}_{2}^{2}}{3R}$
答：（1）a、b两点间的电势差U_ab为$\frac{2N{B}_{0}π{r}_{2}^{2}}{3}$；
（2）0至t₀时间内通过R₁的电荷量q为$\frac{n{B}_{0}π{r}_{2}^{2}}{3R}$．

点评 本题是法拉第电磁感应定律、欧姆定律、焦耳定律的综合应用，应用法拉第定律时要注意s是有效面积，并不等于线圈的面积．