题目内容
19．
如图所示，一条不可伸长的轻绳长为R，一端悬于天花板上的O点，另一端系一质量为m的小球（可视为质点）．现有一个高为h，质量为M的平板车P，在其左端放有一个质量也为m的小物块Q（可视为质点），小物块Q正好处在悬点O的正下方，系统静止在光滑水平面地面上．今将小球拉至悬线与竖直位置成60°角，由静止释放，小球到达最低点时刚好与Q发生正碰，碰撞时间极短，且无能量损失．已知Q离开平板车时的速度大小是平板车速度的两倍，Q与P之间的动摩擦因数为μ，M：m=4：1，重力加速度为g．求：（1）小物块Q离开平板车时速度为多大？
（2）平板车P的长度为多少？
（3）小物块Q落地时距小球的水平距离为多少？
分析 （1）小球下摆过程中，细线拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律求出小球与Q碰撞前的速度大小；小球与小物块Q碰撞过程，时间极短，内力远大于外力，动量守恒，动能也守恒，由此列式，求出碰后两者的速度；Q在P上滑行时，小物块Q与小车系统受到的外力的合力为零，系统动量守恒，由动量守恒定律求Q离开平板车时的速度．
（2）根据功能关系：P、Q系统减小的机械能等于产生的内能，而内能等于滑动摩擦力与相对路程的乘积，求解P的长度．
（3）以地面为参考系，物块Q在小车上做匀减速直线运动，离开平板车后做平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解Q落地时距小球的水平距离．
解答 解：（1）设小球即将与物块Q碰撞前的速度为v0，小球由初始位置摆动到最低点的过程中，由机械能守恒定律可得：
mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v_0}=\sqrt{gR}$
设碰撞后小球速度为v1，物块Q速度为v2，由于小球与物块Q是弹性碰撞，所以碰撞过程满足机械能守恒和动量守恒，取向右为正方向，则得：$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2$
mv0=mv1+mv2
两式联立可得：v1=0，${v_2}={v_0}=\sqrt{gR}$
即：速度交换，小球速度变为零，Q获得速度v0．
设Q离开平板车时的速度大小为v，则平板车速度为$\frac{1}{2}v$，物块Q在小车上滑行的过程中，由动量守恒定律可得：
$m{v_2}=mv+M×\frac{1}{2}v$
又 M：m=4：1
可得：$v=\frac{1}{3}\sqrt{gR}$
（2）设平板车的长度为L，由题意可得物块Q在小车上滑行时，一部分动能转化为系统的内能，所以有：$\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}M{（\frac{1}{2}v）^2}=μmgL$
可得：$L=\frac{7R}{18μ}$
（3）由题意可得，以地面为参考系，物块Q在小车上做匀减速直线运动，设其加速度为a，运动的位移为s1，离开平板车后做平抛运动，运动时间为t，水平位移为s2．
由牛顿运动定律可得：$a=\frac{μmg}{m}=μg$
由运动学公式得 ${v^2}-v_0^2=-2a{s_1}$
Q离开平板车后做平抛运动，则有 $h=\frac{1}{2}g{t^2}$，s2=vt
联立可得：物块运动的水平位移为 ${s_1}+{s_2}=\frac{4R}{9μ}+\frac{1}{3}\sqrt{2Rh}$
由于小球与物块Q碰后处于静止状态，所以小物块Q落地时距小球的水平距离即为物块运动的水平位移：${s_1}+{s_2}=\frac{4R}{9μ}+\frac{1}{3}\sqrt{2Rh}$
答：
（1）小物块Q离开平板车时速度为$\frac{1}{3}\sqrt{gR}$．
（2）平板车P的长度为$\frac{7R}{18μ}$．
（3）小物块Q落地时距小球的水平距离为$\frac{4R}{9μ}$+$\frac{1}{3}\sqrt{2Rh}$．
点评 本题采用程序法，逐一分析物体间的相互作用过程，分析得到物体间相互作用时满足的规律：动量守恒、能量守恒等，进而求出要求的物理量．
在一次救援过程中，直升机悬停在空中，用悬绳以 0.4m/s2 的加速度将静止于地面的人员拉起，达 到 4m/s 的速度时，变为匀速上升，匀速上升 5s 后，再以 0.5m/s2 的加速度减速上升，刚好到飞机处停止． 试求：
P与Q二球水平相距150m，距地面高都为80m，同时相向水平抛出两球，初速度分别为vp=20m/s，vQ=30m/s如图所示，则二球相碰点S距地面高度是（g取10m/s2）（ ）| A． | 25m | B． | 35m | C． | 45m | D． | 55m |
如图，半径R=0.3m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ=30°，另一端点C为轨道的最低点，其切线水平．C点右侧的光滑水平面上紧挨C点静止放置一处于锁定状态的木板，木板质量M=0.3kg，上表面与C点等高，木板中央放置了一个静止的质量m=0.1kg的物块．质量为m0=0.1kg的物块从平台上A点以v0=2m/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道．已知两物块与木板间的动摩擦因数均为μ=0.1，两物块体积很小，都可视为质点，取g=10m/s2，求：
如图，轻弹簧的两端分别连接A、B两物块，置于光滑的水平面上，初始时，A紧靠墙壁，弹簧处于压缩状态且被锁定．已知A、B的质量分别为m1=2kg、m2=1kg，初始时弹簧的弹性势能EP=4.5J，现解除对弹簧的缩定，则从解除锁定到A离开墙壁的过程中，弹簧对B的冲量的大小为I=3Ns，此后弹簧的最大弹性势能为Ep'=3J．
同学们利用如图所示方法估测反应时间．首先，甲同学捏住直尺上端，使直尺保持竖直状态，直尺零刻度线位于乙同学的两指之间．当乙看见甲放开直尺时，立即用手指捏直尺，若捏住位置的刻度读数为x，重力加速度为g，则乙同学的反应时间为$\sqrt{\frac{2x}{g}}$．若乙同学手指张开的角度太大，测得的反应时间偏大（选填“偏大”或“偏小”）．基于上述原理，某同学用直尺制作测量反应时间的工具，若以相等时间间隔在该直尺的另一面标记出表示反应时间的刻度线，则从零刻度开始，刻度的空间间隔越来越大（选填“大”或“小”）．
如图所示是一皮带传输装载机械的示意图．井下挖掘工将矿物无初速度地放置于沿图示方向运行的传送带A端，被传输到末端B处，再沿一段圆形轨道到达轨道的最高点C处，然后水平抛到货台上．已知半径为R=0.4m的圆形轨道与传送带在B点相切，O点为半圆的圆心，BO、CO分别为圆形轨道的半径，矿物m可视为质点，传送带与水平面间的夹角θ=37°，矿物与传送带间的动摩擦因数μ=0.8，传送带匀速运行的速度为v0=8m/s，传送带AB点间的长度为sAB=45m．若矿物落点D处离最高点C点的水平距离为xCD=2m，竖直距离为hCD=1.25m，矿物质量m=50kg，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10m/s2，不计空气阻力．求：
如图，两根电阻不计的足够长的光滑金属导轨MN、PQ，间距为L，两导轨构成的平面与水平面成θ角．金属棒ab、cd用绝缘轻绳连接，其电阻均为R，质量分别为m和2m．沿斜面向上的外力F作用在cd上使两棒静止，整个装置处在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，重力加速度大小为g．将轻绳烧断后，保持F不变，金属棒始终与导轨垂直且接触良好．则（ ）| A． | 轻绳烧断瞬间，cd的加速度大小a=$\frac{1}{2}$gsinθ | |
| B． | 轻绳烧断后，cd做匀加速运动 | |
| C． | 轻绳烧断后，任意时刻两棒运动的速度大小之比vab：vcd=1：2 | |
| D． | 棒ab的最大速度vabm=$\frac{4mgRsinθ}{{{3B}^{2}L}^{2}}$ |