题目内容

7．如图，半径R=0.3m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ=30°，另一端点C为轨道的最低点，其切线水平．C点右侧的光滑水平面上紧挨C点静止放置一处于锁定状态的木板，木板质量M=0.3kg，上表面与C点等高，木板中央放置了一个静止的质量m=0.1kg的物块．质量为m0=0.1kg的物块从平台上A点以v0=2m/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道．已知两物块与木板间的动摩擦因数均为μ=0.1，两物块体积很小，都可视为质点，取g=10m/s2，求：
（1）物体到达B点时的速度大小vB；
（2）物块经过C点时与轨道间弹力的大小；
（3）质量为m0的物块滑到木板中央与m发生碰撞并粘到一起，此时木板解除锁定，则木板长度满足什么条件，才能保证物块不滑离木板．

分析 （1）物块离开A点后做平抛运动，到达B点时沿B点的切线方向，根据平抛运动的规律得出物体在B点的速度．
（2）由机械能守恒可求得物块在C点的速度；由向心力公式可求得物块在C点受到的支持力．
（3）由动量守恒定律求出物块m0与物体m碰撞后共同速度．要使物块不滑离木板，两物体最后应达到相同速度并且刚好到达木板的最右端，由动量守恒定律求出共同速度，由能量守恒定律求得木板的最小长度．

解答 解：（1）设物体经过B点的速度为vB，则由平抛规律可得：
vBsin30°=v0…①
解得：vB=4m/s …②
（2）设物体经过C点的速度为vC，由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}{m_0}v_B^2+{m_0}gR（1+sin30°）=\frac{1}{2}{m_0}v{\;}_C^2$ …③
根据牛顿第二定律得：
 ${F_N}-{m_0}g=\frac{{{m_0}v_C^2}}{R}$…④
解得：${F_N}=\frac{28}{3}N≈9.33N$…⑤
（3）设两物块碰撞前，m0的速度为v1，粘在一起的速度为v2，物块m0在于碰撞前，由动能定理得：
$-μ{m_0}g\frac{L}{2}=\frac{1}{2}{m_0}v_1^2-\frac{1}{2}{m_0}v_C^2$…⑥
发生碰撞时，由动量守恒定律有：m0v1=（m0+m）v2…⑦
两物块与模板相对滑动至共速v3，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
（m0+m）v2=（m0+m+M）v3…⑧
由能量守恒得：$μ（{m_0}+m）g\frac{L}{2}=\frac{1}{2}（{m_0}+m）v{\;}_2^2-\frac{1}{2}（{m_0}+m+M）v_3^2$…⑨
联立解得：L=$\frac{75}{23}$m≈3.26m
所以木板长度大于等于3.26m时才能保证物块不滑离木板．
答：（1）物体到达B点时的速度大小vB是4m/s．
（2）物块经过C点时与轨道间弹力的大小是9.33N．
（3）木板长度大于等于3.26m时才能保证物块不滑离木板．

点评 本题将平抛、圆周运动及直线运动结合在一起，要注意分析运动过程，把握每个过程的物理规律．要知道物块在木板上滑行时，摩擦产生的内能与相对位移有关．

练习册系列答案
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