Question

12．如图甲所示，直角坐标系xoy中，第二象限内有沿x轴正方向的匀强电场，第一、四象限内有垂直坐标平面的匀强交变磁场，磁场方向垂直纸面向外为正方向．第三象限内有一发射装置（没有画出）沿y轴正方向射出一个比荷$\frac{q}{m}$=100C/kg的带正电的粒子（可视为质点且不计重力），该粒子以v₀=20m/s的速度从x轴上的点A（-2m，0）进入第二象限，从y轴上的点C（0，4m）进入第一象限．取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，第一、四象限内磁场的磁感应强度按图乙所示规律变化．g=10m/s²．

（1）求第二象限内电场的电场强度大小；
（2）求粒子第一次经过x轴时的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）由粒子做类平抛运动的水平位移和竖直位移求得加速度，进而求得电场强度；
（2）分析粒子运动轨迹，由知道等腰三角形的内底角及腰长求得底边边长，进而求得位置坐标．

解答 （1）带电粒子在第二象限的电场中只受电场力，且电场力方向与初速度方向垂直，所以，粒子做类平抛运动；
粒子从A点到C点用时$t=\frac{OC}{{v}_{0}}=\frac{4}{20}s=\frac{1}{5}s$，；
粒子在水平方向上有$a=\frac{qE}{m}$，所以，$OA=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，则有$E=\frac{m}{q}a=\frac{m}{q}\frac{2OA}{{t}^{2}}=\frac{2×2}{100×（\frac{1}{5}）^{2}}N/C=1N/C$；
（2）粒子进入磁场时的速度为v，则其竖直分量v_y=v₀=20m/s，水平分量${v}_{x}=at=\frac{qE}{m}t=20m/s$；
所以，$v=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=20\sqrt{2}m/s$，v与y轴正方向的夹角为45°；
在洛伦兹力作向心力的作用下，$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，粒子在磁场中的做圆周运动的半径$R=\frac{mv}{Bq}=\frac{20\sqrt{2}}{100×0.4}m=\frac{\sqrt{2}}{2}m$；
粒子做圆周运动的周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{π}{20}s$，所以，由图乙可知，粒子每运动半个圆周则偏转方向相反，
则粒子在磁场中的运动如图所示，，
因为$4\sqrt{2}=8R$，所以粒子运动第四个半圆的过程中第一次经过x轴，由等腰三角形性质可知，粒子第一、二次经过x轴，在x轴上对应的弦长为$\sqrt{2}r=1m$；
所以OD=3m，则粒子第一次经过x轴时的位置坐标为（3m，0）．
答：（1）第二象限内电场的电场强度大小为1N/C；
（2）粒子第一次经过x轴时的位置坐标为（3m，0）．

点评 在粒子的运动问题上，要将粒子运动轨迹尽可能画出来以减少问题的难度，如本题若没有画图，则易认为粒子经过4个半圆后第一次与x轴相交．