Question

7．用某种透明材料制成的一块柱体形棱镜的水平截面图如图所示，FD是半径为R的$\frac{1}{4}$圆周，圆心为O，AD长度a=$\frac{1}{2}$R．光线以入射角θ₁=60°射到棱镜AB面上，经折射后，光线到达BF面上的O点且恰好不从BF面射出，计算结果可用根式表示．求：
（i）棱镜的折射率n；
（ii）光线在棱镜中传播的时间t（光在真空中的传播速度为c）．

Answer 1

分析 （i）光线射入棱镜后射在BF面上的O点并恰好不从BF面射出，在BF面上发生了全反射．作出光路图．根据折射定律分别研究光线在AB面上的折射和在BF面的全反射，结合几何知识求解折射率n．
（ii）由几何关系求出光线在棱镜中传播的路程，由v=$\frac{c}{n}$求出光线在棱镜中传播的速度，即可求得光线在棱镜中传播的时间t．

解答 解：（i）设光线在AB面的折射角为θ₂．
光线恰好不从BF面射出，在O点发生了全反射，则折射光线与OD的夹角恰好等于临界角C．如图所示．
在O点，由折射定律有：n=$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$
又 sinC=$\frac{1}{n}$
由几何关系有：θ₂+C=90°
联立解得：n=$\frac{\sqrt{7}}{2}$
（ii）光线在棱镜中传播的路程为：s=$\frac{a}{cos{θ}_{2}}$+R
光线在棱镜中传播的速度为：v=$\frac{c}{n}$
所以光线在棱镜中传播的时间为：t=$\frac{s}{v}$
联立解得：t=$\frac{（7+4\sqrt{7}）R}{8c}$
答：（i）棱镜的折射率n是$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
（ii）光线在棱镜中传播的时间t是$\frac{（7+4\sqrt{7}）R}{8c}$．

点评 本题是折射现象和全反射现象的综合，关键作出光路图，运用几何知识找出角度之间的关系．