Question

4．如图所示，甲、乙两块透明介质，折射率不同，截面为$\frac{1}{4}$圆周，半径均为R，对接成半圆．一光束从A垂直射入甲中，OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，在B点恰好发生全反射，从乙介质D点（图中未画出）射出时，出射光线与BD连线间夹角为15°．已知光在真空中的速度为c，求：
（1）甲介质的折射率；
（2）光由A到D传播的总时间．

Answer 1

分析 （1）光线在B点恰好发生全反射，入射角等于临界角C，由几何关系求出临界角C，再由临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求甲介质的折射率；
（2）光线在D点发生折射，根据折射定律求出乙介质的折射率，由v=$\frac{c}{n}$求出光线在两种介质中传播的速度，再由t=$\frac{s}{v}$求光由A到D传播的总时间．

解答 解：（1）据题，光线在B点恰好发生全反射，入射角等于临界角，由几何知识可知，甲介质中临界角为 C_甲=45°，则
甲介质的折射率 n_甲=$\frac{1}{sin{C}_{甲}}$=$\frac{1}{sin45°}$=$\sqrt{2}$
（2）乙介质中，光线在D点发生折射，入射角 i=45°，折射角 r=60°
则乙介质的折射率 n_乙=$\frac{sinr}{sini}$
解得 n_乙=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
由光在介质中的传播速度 v=$\frac{c}{n}$得：
     光在甲介质中的传播速度 v_甲=$\frac{c}{{n}_{甲}}$
     光在乙介质中的传播速度 v_乙=$\frac{c}{{n}_{乙}}$
由几何知识可得：
    光在甲介质中的传播距离 x_甲=$\sqrt{2}$R
    光在乙介质中的传播距离 x_乙=$\sqrt{2}$R
则光在甲介质中的时间 t_甲=$\frac{{x}_{甲}}{{v}_{甲}}$
光在乙介质中的时间 t_乙=$\frac{{x}_{乙}}{{v}_{乙}}$
所以光由A到D传播的总时间 t=t_甲+t_乙．
联立解得  t=$\frac{（4+\sqrt{3}）R}{2c}$
答：
（1）甲介质的折射率是$\sqrt{2}$；
（2）光由A到D传播的总时间是$\frac{（4+\sqrt{3}）R}{2c}$．

点评 本题是简单的几何光学问题，其基础是作出光路图，要能根据几何知识确定入射角或折射角，求出光传播的距离．