Question

14．一个质量为m₁的人造地球卫星在高空做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻和一个质量为m₂的太空碎片发生迎头正碰，碰后二者结合成一个整体，速度大小变为卫星原来速度的$\frac{1}{n}$，并开始沿椭圆轨道运动，轨道的远地点为碰撞时的点．若碰后卫星的内部装置仍能有效运转，当卫星与碎片的整体再次通过远地点时通过极短时间的遥控喷气可使整体仍在卫星碰前的轨道上做圆周运动，绕行方向与碰前相同．已知地球的半径为R，地球表面的重力加度大小为g，则下列说法正确的是（　　）

• A． 卫星与碎片碰撞前的线速度大小为$\frac{g{R}^{2}}{r}$
• B． 卫星与碎片碰撞前运行的周期大小为$\frac{2πr}{R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$
• C． 卫星与碎片碰撞后运行的周期变大
• D． 喷气装置对卫星和碎片整体所做的功为$\frac{（{n}^{2}-1）（{m}_{1}+{m}_{2}）g{R}^{2}}{2{n}^{2}r}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供圆周运动向心力，即可求出卫星与碎片碰撞前的线速度大小与周期的大小；由动能定理即可求出喷气装置对卫星和碎片整体所做的功．

解答 解：A、卫星圆周运动的向心力由万有引力提供可得：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
又：mg=$G\frac{mM}{{R}^{2}}$
可得：v=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$，故A错误；
B、据万有引力提供圆周运动向心力，有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}r$
解得卫星周期为：T=$\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$，故B正确；
C、碰后沿椭圆轨道运动，轨道的远地点为碰撞时的点．则椭圆的半长轴小于原来圆周运动的半径，根据开普勒第三定律可知碰撞后运行的周期变小，故C错误；
D、由动能定理可得，喷气装置对卫星和碎片整体所做的功为：
W=$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}$-$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）（\frac{v}{n}）^{2}$=$\frac{（{n}^{2}-1）（{m}_{1}{+m}_{2}）g{R}^{2}}{2{n}^{2}r}$，故D正确．
故选：BD

点评 此题考查的知识点较多，要求熟练应用万有引力定律和应用动能定理的能力，并且要求学生有很好的数学计算能力，难度相对较大．