Question

13．如图1所示，空间存在着方向竖直向上的匀强电场和方向垂直于纸面向内，磁感应强度大小为B的匀强磁场，带电量为+q、质量为m的小球Q静置在光滑绝缘的水平高台边缘，另一质量为m不带电的绝缘小球P以水平初速度v₀向Q运动，v₀=$\frac{mg}{2qB}$，小球P、Q正碰过程中没有机械能损失且电荷量不发生转移，已知匀强电场的电场强度E=$\frac{mg}{q}$，水平台面距离地面高度h=$\frac{{2{m^2}g}}{{{q^2}{B^2}}}$，重力加速度为g，不计空气阻力．

（1）求P、Q两球首次发生弹性碰撞后，小球Q的速度大小；
（2）P、Q两球首次发生弹性碰撞后，经多少时间小球P落地，落地点与平台边缘间的水平距离多大？
（3）若撤去匀强电场，并将小球Q重新放在平台边缘，小球P仍以水平初速度v₀=$\frac{mg}{2qB}$向Q运动，小球Q的运动轨迹如图2所示，已知Q球在最高点和最低点所受全力的大小相等，求小球Q在运动过程中的最大速度和第一次下降的最大距离H．

Answer 1

分析 （1）P、Q两球发生弹性碰撞，遵守动量守恒和机械能守恒，据此列式，可求得碰撞后小球Q的速度大小．
（2）两球碰撞后交换速度，Q球做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，经过一个周期时间再次与P球碰撞，交换速度，P球做平抛运动．根据平抛运动的规律求解即可．
（3）PQ相碰之后小球Q开始做曲线运动，小球运动到最低位置时下落高度为H，此时速度最大，根据动能定理列式得到最大速度．任意时刻v沿水平向右方向、竖直向下方向的分速度分别为v_x、v_y．与v_y相对应的洛伦兹力水平向右，为 f_x=qv_yB，小球Q到最低点的过程中，运用动量定理可求解．

解答 解：（1）小球P、Q首次发生弹性碰撞时，取向右为正方向，由动量守恒和机械能守恒得：
  mv₀=mv_P+mv_Q；
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
联立解得 v_P=0，v_Q=v₀=$\frac{mg}{2qB}$．
（2）对于小球Q，由于qE=mg，故Q球做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则
  qv_QB=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{r}$
经时间t₁=T=$\frac{2πm}{qB}$小球P、Q再次发生弹性碰撞，由（1）可知碰后：v_P′=v₀=$\frac{mg}{2qB}$，v_Q′=0
小球P离开平台后做平抛运动，平抛运动的时间为t₂，t₂=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\frac{2m}{qB}$
所以P与Q首次发生碰撞后到落地，经过的时间 t=$\frac{2πm}{qB}$+$\frac{2m}{qB}$=$\frac{2m}{qB}$（π+1）
落地点与平台边缘的水平距离 x_P=v_P′t₂=$\frac{{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$
（3）PQ相碰后，Q球速度v_Q=v₀=$\frac{mg}{2qB}$，之后小球Q以速度v_Q开始做曲线运动．
设小球运动到最低位置时下落高度为H，此时速度最大为v_m，方向水平向右．
由动能定理得：mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
任意时刻v沿水平向右方向、竖直向下方向的分速度分别为v_x、v_y．
与v_y相对应的洛伦兹力水平向右，为 f_x=qv_yB
小球Q到最低点的过程中，由动量定理得：
  $\sum_{\;}^{\;}$f_x△t=∑qv_yB△t=qB$\sum_{\;}^{\;}$v_y△t=qBH=mv_m-mv_Q；
联立解得 H=$\frac{{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$，v_m=$\frac{3mg}{2qB}$
答：
（1）P、Q两球首次发生弹性碰撞后，小球Q的速度大小为$\frac{mg}{2qB}$．
（2）P、Q两球首次发生弹性碰撞后，经$\frac{2m}{qB}$（π+1）时间小球P落地，落地点与平台边缘间的水平距离为$\frac{{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$．
（3）小球Q在运动过程中的最大速度为$\frac{3mg}{2qB}$，第一次下降的最大距离H为$\frac{{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$．

点评 解决本题要正确分析两球的受力情况，准确把握弹性碰撞的规律：动量守恒和机械能守恒，关键要运用积分法动量定理求解最大速度．