题目内容

4．如图（a）所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用长为l的细绳拴在铁钉B上（细绳能承受足够大的拉力），A、B、C在同一直线上，t=0时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动，在0≤t≤10s时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图（b）所示，试求：
（1）两钉子间的距离d
（2）t=14s时细绳拉力的大小
（3）细绳第三次碰钉子到第四次碰钉子的时间间隔．

分析 （1）根据拉力提供向心力，结合图线，通过拉力的变化得出转动半径的变化，从而得出两钉子间的距离d．
（2）抓住转动的线速度不变，结合半径的变化得出每一个半圈的时间，从而确定出t=14s时转动的半径，结合拉力提供向心力，通过比较得出拉力的大小．
（3）抓住每转动半圈，绳长少$\frac{1}{6}l$，则时间少$\frac{1}{6}t$，确定出细绳第三次碰钉子到第四次碰钉子的时间间隔．

解答 解：（1）0-6s内，绳子的拉力不变，${F}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{l}$，
6-10s内拉力大小不变，${F}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{{l}_{1}}$，
因为${F}_{2}=\frac{6}{5}{F}_{1}$，则${l}_{1}=\frac{5}{6}l$，
可知两钉子间的距离d=$l-{l}_{1}=\frac{1}{6}l$．
（2）第一个半圈经历的时间为6s，则${t}_{1}=\frac{πl}{v}=6s$
则第二个半圈的时间${t}_{2}=\frac{πl′}{v}=\frac{5}{6}{t}_{1}=5s$，
小球转第三个半圈的时间${t}_{3}=\frac{π{l}_{2}}{v}$=$\frac{2}{3}{t}_{1}=4s$，
则t=14s时，小球转动的半径r=$\frac{2}{3}l$，
细绳的拉力${F}_{3}=m\frac{{v}^{2}}{r}=\frac{3}{2}×\frac{m{v}^{2}}{l}=\frac{3}{2}×5N=7.5N$．
（3）由题意知，细绳每跟钉子碰撞一次，转动半圈的时间少$\frac{1}{6}t=1s$，
则细绳第三次碰钉子到第四次碰钉子的时间间隔△t═6-3×1=3s．
答：（1）两钉子间的距离d为$\frac{1}{6}l$；
（2）t=14s时细绳拉力的大小为7.5N；
（3）细绳第三次碰钉子到第四次碰钉子的时间间隔为3s．

点评 解决本题的关键知道绳子的拉力提供圆周运动的向心力，在跟钉子碰撞的过程中，小球的线速度大小不变，转动的半径每转动半圈变化一次．

练习册系列答案
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18．如图所示，靠摩擦传动做匀速转动的大、小两轮接触面互不打滑，大轮半径是小轮半径的2倍，A、B分别为大、小轮边缘上的点，C为大轮上一条半径的中点，则（　　）
A．两质点的线速度vA=2vBB．两轮转动的角速度相等
C．小轮转动的角速度是大轮的2倍D．质点加速度aB=aC
19．一个做匀加速直线运动的物体，在前4s内经过的位移为24m，在第二个4s内经过的位移是60m，则这个物体（　　）
A．在t=2s时的速度为6m/s
B．在t=4s时的速度为11m/s
C．这个物体运动的加速度为a=2.25m/s2
D．这个物体运动的初速度为v0=1.5m/s
12．如图所示，细绳一端系着质量M=2kg的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为7N，现使此平面绕中心轴转动，问角速度ω在什么范围内m会处于静止状态？g取10m/s2．
19．如图所示，长为 l 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球 在竖直平面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度 v，下列叙述正确的是（重力加速度 为 g）（　　）
A．v的极小值为gl
B．v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大
C．当v由$\sqrt{gl}$逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大
D．当v由$\sqrt{gl}$逐渐减小时，杆对小球的弹力也逐渐减小
9．如图所示，在米尺的一端钻一个小孔，使小孔恰能穿过一根细线，线下端挂一质量为m的小钢球（视为质点）．将米尺固定在水平桌面上，使钢球在水平面内做匀速圆周运动，圆心为O，待钢球的运动稳定后，读出钢球到O点的距离r，并用秒表测量出钢球转动n圈用的时间t．则：
（1）小钢球做圆周运动的周期T=$\frac{t}{n}$；
（2）小钢球做圆周运动的向心力F=$\frac{4{π}^{2}m{n}^{2}r}{{t}^{2}}$．（用m、n、t、r等物理量表示）
16．如图所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°．已知小球的质量m=1kg，细线AC长l=0.5m，B点距C点的水平距离和竖直距离相等，（重力加速度g取10m/s2，sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）．
（1）若装置匀速转动的角速度为ω1时，细线AB上的张力为0而细线AC与竖直方向的夹角仍为37°，求角速度ω1的大小．
（2）若装置匀速转动的角速度ω2=$\sqrt{\frac{100}{3}}$rad/s，求细线AC与竖直方向的夹角和细线AB的张力．
13．如图所示，人用绳子通过动滑轮拉A，A穿在光滑的竖直杆上，若人匀速向下拉绳使物体A沿杆向上运动，则物体A作何运动（　　）
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14．关于功率的概念，下列说法中正确的是（　　）
A．功率是描述力对物体做功多少的物理量
B．力做功时间越长，力的功率越小
C．由P=$\frac{W}{t}$知，功率等于单位时间内力做的功
D．由P=Fv知，力越大，做功越快

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