题目内容
16．
如图所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°．已知小球的质量m=1kg，细线AC长l=0.5m，B点距C点的水平距离和竖直距离相等，（重力加速度g取10m/s2，sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）．（1）若装置匀速转动的角速度为ω1时，细线AB上的张力为0而细线AC与竖直方向的夹角仍为37°，求角速度ω1的大小．
（2）若装置匀速转动的角速度ω2=$\sqrt{\frac{100}{3}}$rad/s，求细线AC与竖直方向的夹角和细线AB的张力．
分析 （1）当细线AB上的张力为0时，小球的重力和细线AC张力的合力提供小球圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小．
（2）当${ω}_{2}=\sqrt{\frac{100}{3}}rad/s$时，小球应该向左上方摆起，假设细线AB上的张力仍然为0，根据牛顿第二定律求出细线AC与竖直方向的夹角．
解答 解：（1）当细线AB上的张力为0时，小球的重力和细线AC张力的合力提供小球圆周运动的向心力，有：$mgtan37°=m{{ω}_{1}}^{2}lsin37°$，
解得${ω}_{1}=\sqrt{\frac{g}{lcos37°}}=\sqrt{\frac{10}{0.5×0.8}}$rad/s=5rad/s．
（2）当${ω}_{2}=\sqrt{\frac{100}{3}}rad/s$时，小球应该向左上方摆起，假设细线AB上的张力仍然为0，则：$mgtanθ′=m{{ω}_{2}}^{2}lsinθ′$，
解得$cosθ′=\frac{3}{5}$，θ′=53°．
因为B点距C点的水平和竖直距离相等，所以，当θ′=53°时，细线AB恰好竖直，且$\frac{m{ω}^{2}lsin53°}{mg}=\frac{4}{5}=tan53°$．
说明细线AB此时张力恰好为0，故此时细线AC与竖直方向的夹角为53°．
答：（1）角速度ω1的大小为5rad/s．
（2）细线AC与竖直方向的夹角为53°，细线AB的张力为0．
点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，在第二问中，要知道小球的角速度大于第一问中的角速度，小球将向左上方摆起．
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11．
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8．
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