Question

1．如图所示，长L=4m的粗糙水平直轨道AB与半径R=0.8m的光滑$\frac{1}{4}$圆弧轨道BC相连，B为圆弧的最低点，C为$\frac{1}{4}$圆弧处，质量m₁=1kg的物体静止在A点，m₁与水平轨道的动摩擦因数μ=0.2，质量m₂=2kg的物体静止在B点，A、B均视为质点，现用与水平方向成θ=37°的恒力F拉m₁开始向右运动，运动x₁=2.5m后撤去恒力F，m₁运动到B处于m₂碰撞（碰撞极短时间忽略不计），碰后m₁反弹，向左滑行x₂=0.25m后静止，m₂到C点时对圆弧的作用力恰好等于零，g=10m/s²，求：
（1）m₁与m₂碰撞过程中损失的机械能；
（2）恒力F的大小（计算结果保留三位有效数字）．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，m₂到C点的速度为零，由机械能守恒定律和动能定理列式，设向右为正方向，由动量守恒定律列式，联立方程即可求解；
（2）设撤去F时m₁得速度大小为v₂，由动能定理列式，联立方程求解恒力大小．

解答 解：（1）设碰撞前瞬间m₁的速度大小为v，碰撞后m₁、m₂的速度大小分别为v₁、v₂，碰撞过程中损失的机械能为E，由题意可知，m₂到C点的速度为零，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}={m}_{2}gR$，
由动能定理得：$-μ{m}_{1}g{x}_{2}=0-\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$，
设向右为正方向，由动量守恒定律得：m₁v=-m₁v₁+m₂v₂，
E=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}-（\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}）$
解得：E=8J
（2）设撤去F时m₁得速度大小为v₂，由动能定理得：
$[Fcosθ-μ（Fsinθ-{m}_{1}g）]{x}_{1}=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{3}}^{2}-0$
$-μ{m}_{1}g（L-{x}_{1}）=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{3}}^{2}$
解得：F=13.2N
答：（1）m₁与m₂碰撞过程中损失的机械能为8J；
（2）恒力F的大小为13.2N．

点评 该题综合考查机械能守恒定律、动量守恒定律和动能定律的应用，正确分析出物体在各段运动过程中受力的情况是解题的关键．属于中档题目．