Question

13．如图甲所示，长为4m的水平轨道AB与半径为R=0.5m的竖直半圆弧轨道BC在B处相连接，有一质量为1kg的滑块（大小不计），从A处由静止开始受水平向右的力F作用，F的大小随位移变化关系如图乙所示，滑块与AB间动摩擦因数为0.25，与BC间的动摩擦因数未知，取g=l0m/s²．求：
（1）滑块到达B处时的速度v的大小；
（2）滑块运动到B点前后瞬间受到轨道的支持力之比为N₁：N₂
（3）若滑块到达B点时撤去力F，滑块沿半圆弧轨道内侧上滑，并恰好能达到最高点C，求滑块在半圆轨道上摩擦力所做的功W_f．

Answer 1

分析 （1）对滑块从A到B的过程，运用动能定理并结合图象的信息求出滑块到达B处时的速度v的大小．
（2）滑块运动到B点前，轨道对滑块的支持力与重力平衡．滑块运动到B点后，由重力和支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出支持力，再求支持力之比．
（3）滑块沿半圆弧轨道内侧上滑，并恰好能达到最高点C，知最高点弹力为零，由重力充当向心力，根据牛顿第二定律求出临界的速度，根据动能定理求出滑块在半圆轨道上摩擦力所做的功W_f．

解答 解：（1）滑块从A到B的过程中，由动能定理有：
F₁x₁-F₃x₃-μmgx=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
由图知：F₁=20N，x₁=2m，F₃=10N，x₃=1m，x=4m
代入数据得：20×2-10×1-0.25×1×10×4=$\frac{1}{2}$×1×v²
得：v=2$\sqrt{10}$m/s 　
（3）滑块运动到B点前，有：N₁=mg=10N
滑块运动到B点后，由重力和支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：
N₂-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：N₂=9mg
故N₁：N₂=1：9
（3）当滑块恰好能到达C点时，应有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
滑块从B到C的过程，由动能定理得：
W_f-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：W_f=-7.5J
答：（1）滑块到达B处时的速度v的大小是2$\sqrt{10}$m/s；
（2）滑块运动到B点前后瞬间受到轨道的支持力之比N₁：N₂是1：9；
（3）滑块在半圆轨道上摩擦力所做的功W_f是-7.5J．

点评 解决本题的关键是分析清楚滑块的运动情况，知道圆周运动向心力的来源：指向圆心的合力．当涉及力在空间的效应求速度时往往根据动能定理解决．