Question

12．2016年2月1日15点29分，我国在西昌卫星发射中心成功发射了第五颗新一代北斗导航卫星．该卫星绕地球作圆周运动，质量为m，轨道半径约为地球半径R的4倍．已知地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，则（　　）

• A． 卫星的绕行速率大于7.9 km/s
• B． 卫星的动能大小约为$\frac{mgR}{8}$
• C． 卫星所在高度的重力加速度大小约为$\frac{1}{4}$g
• D． 卫星的绕行周期约为4π$\sqrt{Rg}$

Answer 1

分析 7.9 km/s是第一宇宙速度，是卫星绕地球作圆周运动最大的运行速度．根据万有引力提供圆周运动向心力，求得卫星的线速度和周期，再得到卫星的动能．由重力等于万有引力，求卫星所在高度的重力加速度．

解答 解：A、7.9km/s是第一宇宙速度，是卫星最大的环绕速度，所以该卫星的速度小于7.9 km/s．故A错误．
B、在地球表面质量为m₀的物体，由G$\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$=m₀g，得 g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，或GM=gR²，其中M表示地球的质量，R是地球的半径．
卫星绕地球作圆周运动，由万有引力提供向心力，则有 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
卫星的动能为 E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{GMm}{2r}$=$\frac{g{R}^{2}m}{2×4R}$=$\frac{mgR}{8}$，故B正确．
C、根据mg′=G$\frac{Mm}{（4R）^{2}}$，得卫星所在高度的重力加速度大小 g′=$\frac{GM}{16{R}^{2}}$=$\frac{1}{16}$g，故C错误．
D、由万有引力定律和牛顿第二定律得 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，r=4R，则得卫星的绕行周期 T=2π$\sqrt{\frac{（4R）^{3}}{GM}}$
将GM=gR²代入得 T=8π$\sqrt{\frac{R}{g}}$，故D错误．
故选：B

点评 卫星问题处理的主要思路有两条：一星球表面物体的重力与万有引力相等，二是万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力，GM=gR²称为黄金代换式，在卫星问题中经常用到，要熟练掌握．