Question

6．如图，质量均为2m的木板A、B并排静止在光滑水平地面上，A左端紧贴固定于水平面的半径为R的四分之一圆弧底端，A与B、A与圆弧底端均不粘连．质量为m的小滑块C从圆弧顶端由静止滑下，经过圆弧底端后，沿A的上表面从左端水平滑上A，并在恰好滑到B的右端时与B一起匀速运动．已知重力加速度为g，C过圆弧底端时对轨道的压力大小为1.5mg，C在A、B上滑行时受到的摩擦阻力相同，C与B一起匀速的速度是C刚滑上A时的0.3倍．求：

（1）C从圆弧顶端滑到底到的过程中克服摩擦力做的功；
（2）两板长度L₁与L₂之比．
（3）C刚滑到B的右端时，A右端到B左端的水平距离s与B的长度L₂之比．

Answer 1

分析 （1）根据C过圆弧底端时受力情况，由牛顿第二定律求出C到达圆弧底端时的速度，再由动能定理求C从圆弧顶端滑到底到的过程中克服摩擦力做的功；
（2）C在A上滑行时，AB一起做匀加速运动，C做匀减速运动，以三个物体组成的系统为研究对象，系统的动量守恒，能量也守恒，由动量守恒定律和能量守恒定律分别列式．再研究C在B上滑行的过程，由BC组成的系统动量守恒和能量守恒列式，即可求解两板长度L₁与L₂之比．
（3）C在B上滑行时，对C，运用动量定理求出C从滑上B到与B共速所经历的时间．对B，运用动能定理列式，再由运动学公式求A右端到B左端的水平距离s与B的长度L₂之比．

解答 解：（1）设C到达圆弧底端时的速度为v₀，轨道对C支持力大小为N，下滑过程C克服摩擦力做的功为W_f．由动能定理，有：
  $mgR-{W_f}=\frac{1}{2}mv_0^2-0$  ①
C过底端时，由牛顿第二定律，有：$N-mg=\frac{mv_0^2}{R}$②
由牛顿第三定律，知：N=1.5mg ③
联立①②③式得：${W_f}=\frac{3}{4}mgR$ ④
（2）设C刚滑过A到达B时，C的速度为v_C，A、B的速度为v，B、C共同速度为v_BC，C与A、B间的摩擦力为f．
C从滑上A到刚滑到B这个过程，C和A、B组成的系统动量守恒．取向右为正方向．
由动量守恒守律：mv₀=mv_C+4mv  ⑤
由功能关系：$f{L_1}=\frac{1}{2}mv_0^2-（\frac{1}{2}mv_C^2+\frac{1}{2}×4m{v^2}）$ ⑥
C滑上B到与B共速这个过程，对C和B组成的系统，
由动量守恒定律：mv_C+2mv=（m+2m）v_BC ⑦
由功能关系：$f{L_2}=\frac{1}{2}mv_C^2+\frac{1}{2}×2m{v^2}-\frac{1}{2}（m+2m）v_{BC}^2$  ⑧
或：C从滑上A到与B共速的全过程
由动量守恒定律：mv₀=2mv+（m+2m）v_BC ⑨
由功能关系：$f（{L_1}+{L_2}）=\frac{1}{2}mv_0^2-[\frac{1}{2}×2mv_{\;}^2+\frac{1}{2}（m+2m）v_{BC}^2]$ ⑩
⑤⑦⑨任两式联立并代入v_B=0.3v₀得：v=0.05v₀，v_C=0.8v₀
⑥⑧⑩任两式联立并代入v=0.05v₀，v_C=0.8v₀得：$\frac{L_1}{L_2}=\frac{14}{15}$  （11）
（3）（5分）设C从滑上B到与B共速所经历的时间为t，
对B，由动量定理：ft=2mv_B-2mv  （12）
在t时间内，A通过的距离：s_A=vt   （13）
设B在t时间内通过的距离为s_B，
对B应用动能定理：$f{s_B}=\frac{1}{2}×2mv_B^2-\frac{1}{2}×2m{v^2}$  （14）
又 s=s_B-s_A （15）
联立⑧⑩（11）（12）（13）（14）（15）（16）式并代入v_B=0.3v₀，v=0.05v₀得：$\frac{s}{L_2}=\frac{1}{3}$  （16）
答：
（1）C从圆弧顶端滑到底到的过程中克服摩擦力做的功是$\frac{3}{4}$mgR；
（2）两板长度L₁与L₂之比14：15．
（3）C刚滑到B的右端时，A右端到B左端的水平距离s与B的长度L₂之比1：3．

点评 本题的关键明确滑块和木板的运动规律，会运用动量守恒定律列式求解共同速度，知道内能的增加量等于一对滑动摩擦力做功的绝对值，也可以用其他方法研究，如运动学公式和牛顿第二定律求解．