题目内容

4．将一根长为L的光滑细钢丝ABCDE制成如图所示的形状，并固定在竖直平面内．其中AD段竖直，DE段为$\frac{3}{4}$圆弧，圆心为O，E为圆弧最高点，C与E、D与O分别等高，BC=$\frac{1}{4}$AC．将质量为m的小珠套在钢丝上由静止释放，不计空气阻力，重力加速度为g．
（1）小珠由C点释放，求到达E点的速度大小v1；
（2）小珠由B点释放，从E点滑出后恰好撞到D点，求圆弧的半径R；
（3）欲使小珠到达E点与钢丝间的弹力超过$\frac{mg}{4}$，求释放小珠的位置范围．

分析 （1）小珠由C点释放后，小球的机械能守恒，由此求出小球到达E点的速度大小v1；
（2）小珠由B点释放，从E点滑出后做平抛运动，将运动分解即可求出圆弧的半径R；
（3）对小珠减小受力分析，由机械能守恒，结合牛顿第二定律即可求出释放小珠的位置范围．

解答 解：（1）选取O点为0势能点，C点与E点相对于O的高度都是R；小珠由C点释放后，小球的机械能守恒，则：
$mgR=mgR+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
所以：v1=0；
 （2）小珠从E点滑出后做平抛运动，竖直方向：R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
所以：t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
水平方向：R=v2t
所以：${v}_{2}=\frac{R}{t}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$
B相对于O点的高度：hB=R+$\frac{1}{4}\overline{AC}$
其中：$\overline{AC}=L-\frac{3}{4}•2πR-R$
B到E的过程中：$mg{h}_{B}=mgR+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
联立可得：$R=\frac{2L}{4+3π}$；
（3）设释放点 的高度相对于C点为h，若小珠子到达E时，与钢丝间的弹力超过$\frac{mg}{4}$有两种情况：
Ⅰ、小珠受到的弹力方向向上，则：$mg-\frac{1}{4}mg=\frac{m{v}_{3}^{2}}{R}$
由机械能守恒得：$mg（h+R）=mgR+\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
联立得：h=$\frac{3L}{4（4+3π）}$
Ⅱ、小珠受到的弹力方向向下，则：$mg+\frac{1}{4}mg=\frac{m{v}_{4}^{2}}{R}$
由机械能守恒得：$mg（h′+R）=mgR+\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$
联立得：h′=$\frac{5L}{4（4+3π）}$
即当小珠子从C点上方低于$\frac{3L}{4（4+3π）}$处滑下或高于$\frac{5L}{4（4+3π）}$处滑下时，小珠到达E点与钢丝间的弹力超过$\frac{mg}{4}$．
答：（1）小珠由C点释放，到达E点的速度大小为0；
（2）小珠由B点释放，从E点滑出后恰好撞到D点，圆弧的半径R为$\frac{2L}{4+3π}$；
（3）欲使小珠到达E点与钢丝间的弹力超过$\frac{mg}{4}$，则需要小珠子从C点上方低于$\frac{3L}{4（4+3π）}$处滑下或高于$\frac{5L}{4（4+3π）}$处滑下．

点评 该题结合平抛运动以及竖直平面内的圆周运动考查机械能守恒，属于机械能守恒定律的应用中难度大的题目，在解答的过程中要注意对过程的分析，同时要注意各知识点的结合．

练习册系列答案
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12．小明骑自行车以一定速度在平直宽敞的公路上匀速前进，突然发现前方公路上有一横着的长而粗的电线杆，为了避免碰上电线杆（设路面最大静摩擦力与滑动摩擦力相等），小明最好应（　　）
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19．如图所示，半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，现要使a不下落，则下列说法正确的是（　　）
A．圆筒转动的角速度ω至少为$\sqrt{\frac{μg}{r}}$
B．圆筒转动的角速度ω至少为$\sqrt{\frac{g}{μr}}$
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16．如图所示的电路中，L是电阻不计的电感线圈，C是电容器，闭合开关S，待电路达到稳定状态后再断开开关S，LC电路中将产生电磁振荡．如果规定电感L中的电流方向从a到b为正，断开开关时刻为t=0，那么图中哪个图能正确表示电感线圈中的电流i随时间t变化的规律（　　）
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13．一物体做平抛运动，分别用vx、x、vy、y、t表示平抛运动的水平速度、水平位移、竖直速度、竖直位移、平抛时间，则下列图象能反映它们之间关系的是（　　）
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C．图中“8”字交点一定在赤道正上方
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