Question

10．如图所示，粗糙的水平轨道与光滑的半圆轨道BCD相切连接，BD为半圆轨道的竖直直径，且BD的长d=0.8m，一质量M=0.5kg的物体乙静止于A点，在A点左侧x₁=2m处由一质量m=1kg的物体甲以v₀=$\sqrt{37}$m/s的初速度向右运动，与乙发生弹性碰撞，碰撞后物体乙恰好能滑过D点，物体乙过D点后被拿走，不再落回水平轨道，已知物体甲与水平轨道间的动摩擦因数μ₁=0.025，AB间的距离x₂=5m，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）物体乙与水平轨道间的动摩擦因数μ₂；
（2）物体甲最终停止的位置到B点的距离x．

Answer 1

分析 （1）物体乙恰好能滑过D点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出B通过D点时的速度．甲从开始位置运动到A处的过程，由动能定理列式，求得甲碰撞前的速度．对于甲乙碰撞过程，根据动量守恒定律和能量守恒定律列式，求得碰后两者的速度．再由乙从A到D的过程，运用动能定理可求得物体乙与水平轨道间的动摩擦因数μ₂；
（2）假设甲能运动到与圆轨道圆心等高的C处，由机械能守恒求出B点的速度满足的条件，从而判断出甲能否到达C处，再由动能定理求物体甲最终停止的位置到B点的距离x．

解答 解：（1）乙恰能通过D点，所以在D点乙的重力等于向心力，即有：
Mg=M$\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$，其中r=$\frac{d}{2}$=0.4m
解得：v_D=2m/s
乙在B点时速度满足：$\frac{1}{2}M{v}_{B}^{2}$=Mgd+$\frac{1}{2}M{v}_{D}^{2}$
代入数据解得：v_B=2$\sqrt{5}$m/s
甲从开始运动至A点，由动能定理得：
-μ₁mgx₁=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
对于甲乙发生弹性碰撞的过程，取向右为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律得：
mv_A=mv_甲+Mv_乙．
$\frac{1}{2}$mv_A²=$\frac{1}{2}$mv_甲²+$\frac{1}{2}$Mv_乙²．
联立解得：v_甲=2m/s，v_乙=8m/s
乙从A到B的过程，有：-μ₂Mgx₂=$\frac{1}{2}M{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}M{v}_{乙}^{2}$
代入数据解得：μ₂=0.44
（2）若甲能滑到与半圆轨道圆心等高处，在B点的速度满足：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=mgr
代入数据解得：v=2$\sqrt{2}$m/s＞v_甲=2m/s，所以甲不可能滑到与半圆轨道圆心等高处，则有：
0-$\frac{1}{2}$mv_甲²=-μ₁mgs
代入数据解得：s=8m
所以物体甲最终停止的位置到B点的距离为：x=s-x₂=8m-5m=3m
答：（1）物体乙与水平轨道间的动摩擦因数μ₂是0.44．
（2）物体甲最终停止的位置到B点的距离x是3m．

点评 本题按时间顺序分析甲乙的运动情况，涉及距离求速度时往往根据动能定理列式．对于弹性碰撞，要抓住两大守恒定律：动量守恒定律和机械能守恒定律．要知道滑动摩擦力做功与总路程有关．