Question

20．如图所示，dc与ef是无电阻的导轨，相距为l，固定在水平面内，同时存在图示方向的匀强磁场，de端接有一个阻值为R的定值电阻，cf端接有一个电容为C的电容器，距d为x₀处的P点有个小缺口，两导轨P点左侧无摩擦，右侧的动摩擦因数为μ，距P不远处导轨中央O点有一个质量为m的粘性物体，将金属轻杆ab（不计质量，没有电阻）紧挨de放置，在水平拉力F作用下向右运动，拉力F与杆往右运动的位移x成正比，即：F=kx，当杆ab到达P点时的速度为v₀，试求：（不考虑感应电流的磁场，其中“F=kx”的k=$\frac{{mv}_{0}}{{CRx}_{0}}$）
（1）从杆开始运动至到达P点F所做的功和电阻R上放出的热量；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）越过P点后杆粘上物体（物体离开水平面）成为一体，开让ab杆维持速度v₀匀速运动一段足够长的时间后撤去外力，那么撤去外力后杆运动多长时间才能停止运动？撤去外力后杆运动了多长的距离？

Answer 1

分析 （1）拉力F与位移x成正比，可用平均力与位移的乘积求F所做的功．电阻R上放出的热量等于F所做的功．
（2）因为杆无质量，所以拉力与安培力大小相等．由此求B的大小．
（3）越过P后，C两端的电压 U=Blv₀．所带电量 q=CBlv₀．撤去F后，由于存在摩擦力，所以杆会减速运动，运用动量定理分析速度与时间的关系，确定杆的运动性质，再求解时间和位移．

解答 解：（1）由于拉力F与位移x成正比，所以可用平均力求拉力做功，即为：
W=$\frac{0+{F}_{0}}{2}{x}_{0}$=$\frac{k{x}_{0}}{2}{x}_{0}$=$\frac{m{v}_{0}{x}_{0}}{2CR}$
R上放出的热量等于F所做的功，即为：
Q=$\frac{m{v}_{0}{x}_{0}}{2CR}$
（2）因为杆无质量，所以拉力必然时刻等于安培力．则有：
F=kx₀=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R}$
解得：B=$\sqrt{\frac{k{x}_{0}R}{{l}^{2}{v}_{0}}}$=$\frac{1}{l}$$\sqrt{\frac{m}{C}}$
（3）越过P后，C两端的电压为：U=Blv₀．
所带电量为：q₀=CU=CBlv₀．
撤去外力F后，由于存在摩擦力，所以杆会减速运动，而电容器放电，取向右为正方向，根据动量定理（设t时刻的速度为v，此时电容器所带电荷量为 q=CBlv）得：
（-μmg+Bli）△t=m△v
两边求和得：-μmg$\sum_{\;}^{\;}$△t+Bl$\sum_{\;}^{\;}$i△t=m$\sum_{\;}^{\;}$△v
即得：-μmgt+Bl（q₀-q）=m（v-v₀）
-μmgt+CB²l²（v₀-v）=-m（v₀-v）
可得：v=v₀-$\frac{μmg}{C{B}^{2}{l}^{2}+m}$t
可见，杆做加速度为：a=$\frac{μmg}{C{B}^{2}{l}^{2}+m}$=$\frac{1}{2}μg$的匀减速运动，当v=0时停止运动，所以撤去外力后杆运动时间为：
t=$\frac{2{v}_{0}}{μg}$
位移为：x=$\frac{{v}_{0}t}{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}$
答：（1）从杆开始运动至到达P点F所做的功和电阻R上放出的热量均为$\frac{m{v}_{0}{x}_{0}}{2CR}$；
（2）磁感应强度B的大小为$\frac{1}{l}$$\sqrt{\frac{m}{C}}$；
（3）撤去外力后杆运动时间是$\frac{2{v}_{0}}{μg}$，位移是$\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}$．

点评 本题电磁感应与电路的综合，除掌握电磁感应与力学的基本规律外，关键要是运用动量定理及电容器的放电电流公式 i=$\frac{△q}{△t}$，分析v与t的关系，这是常用积分法，要学会运用．