题目内容

1．如图所示为一半径为R的半圆形金属框，可绕固定点O自由转动，放置在以MN为边界的匀强磁场中，磁感应强度为B．线框ACB段导线较粗，电阻可忽略不计，质量为m，其重心为D，离O距离为d=$\frac{2R}{π}$；AOB段较细，质量可忽略不计但电阻均匀分布．现从图示位置给予一个轻微扰动，线框逆时针转出磁场区域，已知在转出60°角时，AO两点间的电压为U．空气阻力忽略不计，重力加速度为g．
（1）请判断在转出60°角时AO两点电势的高低；
（2）请求在转出60°角时线框绕O转动的角速度ω；
（3）请求在转出60°角过程AO段导线上产生的焦耳热及全过程在AB导线上可产生的总焦耳热．

分析 （1）根据楞次定律可得电势高低；
（2）根据法拉第电磁感应定律可求角速度；
（3）根据能量守恒定律可得在转出60°角过程AO段导线上产生的焦耳热和全过程重力势能的减少等于在AB导线上产生的总焦耳热．

解答 解：（1）根据楞次定律可得电流方向为顺时针，此时OB便切割磁感应线，所以O点的电势高于A；

（2）已知在转出60°角时，AO两点间的电压为U．则此时的感应电动势为：
E=2U，
根据法拉第电磁感应定律可得：E=$\frac{1}{2}BR{ω}^{2}$，
解得：$ω=2\sqrt{\frac{U}{BR}}$；
（3）在转出60°角过程，重力势能减少为：
△EP=mgd（1+cos30°）=$\frac{2mgR}{π}（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）$；
线框的速度为：v=Rω=$2\sqrt{\frac{RU}{B}}$；
动能增加为：$△{E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{2mRU}{B}$，
所以在转出60°角过程AO段导线上产生的焦耳热为：
Q1=$\frac{1}{2}（△{E}_{P}-△{E}_{k}）$=$\frac{mgR}{π}（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）-\frac{mRU}{B}$；
全过程重力势能的减少等于在AB导线上产生的总焦耳热，所以有：
Q=mg•2d=$\frac{4mgR}{π}$．
答：（1）在转出60°角时O点的电势高于A；
（2）在转出60°角时线框绕O转动的角速度为$2\sqrt{\frac{U}{BR}}$；
（3）在转出60°角过程AO段导线上产生的焦耳热为$\frac{mgR}{π}（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）-\frac{mRU}{B}$；全过程在AB导线上可产生的总焦耳热为$\frac{4mgR}{π}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下物体的平衡问题；另一条是能量，分析电磁感应现象中的能量如何转化是关键．

练习册系列答案
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（1）t=10s时，ef棒消耗的电功率；
（2）从t=0时刻起，4s内通过ab棒的电荷量q；
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（1）t0时刻之前线框中产生的感应电动势E及ab边中电流的方向．
（2）t0时刻后，转动线框的过程中，通过线框的电量q．
（3）t0时刻后，转动线框的过程中，线框中产生的焦耳热Q．
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B．两带电粒子在磁场中运动的时间之比为1：1
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