Question

13．如图甲所示，边长为L、电阻为R的正方形线框abcd水平放置，OO′为过ab、cd两边中点的直线．线框处于足够大的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，磁感应强度B随时间t按图乙所示规律变化．t₀时刻后，将线框左半部固定不动，而将线框右半部以角速度ω绕OO′为轴向上匀速转动90°至图中虚线位置不动．求：
（1）t₀时刻之前线框中产生的感应电动势E及ab边中电流的方向．
（2）t₀时刻后，转动线框的过程中，通过线框的电量q．
（3）t₀时刻后，转动线框的过程中，线框中产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律列式求解感应电动势大小，根据楞次定律和安培定则判断感应电流的方向；
（2）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电流定义公式列式后联立求解即可；
（3）先求解感应电动势的瞬时值，得到最大值，计算有效值，然后根据欧姆定律和电功率公式列式求解．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律，有：E=nS$\frac{△B}{△t}$=$1×{L}^{2}×\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}$=$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{{t}_{0}}$；
根据楞次定律和安培定则，感应电流为瞬时值方向，即ab边中电流的方向向右；
（2）t₀时刻后，根据法拉第电磁感应定律，有：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{\frac{1}{2}{B}_{0}{L}^{2}}{{t}_{0}}=\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{2{t}_{0}}$；
根据欧姆定律，有：$I=\frac{E}{R}$，
电荷量：q=It₀，
联立解得：q=$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{2R}$；
（3）t₀时刻后，转动线框的过程中，是bc边切割磁感线，故感应电动势的瞬时值为：
e=B₀Lvsinωt，
其中：v=$ω•\frac{L}{2}$，
联立解得：e=$\frac{1}{2}{B}_{0}{L}^{2}ω•sinωt$；
为正弦式交变电流，故最大值为：E_m=$\frac{1}{2}{B}_{0}{L}^{2}ω$，
有效值为：E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$，
焦耳热为：Q=$\frac{{E}^{2}}{R}•\frac{\frac{π}{2}}{ω}$，
联立解得：Q=$\frac{{πB_0^2{L^4}ω}}{16R}$；
答：（1）t₀时刻之前线框中产生的感应电动势E为$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{{t}_{0}}$，ab边中电流的方向为向右．
（2）t₀时刻后，转动线框的过程中，通过线框的电量q为$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{2R}$．
（3）t₀时刻后，转动线框的过程中，线框中产生的焦耳热Q为$\frac{{πB_0^2{L^4}ω}}{16R}$．

点评 本题是滑轨类问题，考查感应电动势的不同求解方法，要注意区分交流电的瞬时值、平均值、最大值和有效值，关键是结合切割公式、欧姆定律公式、闭合电路欧姆定律、法拉第电磁感应定律列式．