Question

18．如图所示，平行金属板竖直放置，底端封闭，中心线上开一小孔C，两板相距为d，电压为U．平行板间存在大小为B₀的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，AG是两板间的中心线．金属板下方存在有界匀强磁场区域EFDGH，EFGH为长方形，EF边长为$\frac{2a}{3}$；EH边长为2a，A、F、G三点共线，E、F、D三点共线，曲线GD是以3a为半径、以AG上某点（图中未标出）为圆心的一段圆弧，区域内磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里．若大量带电粒子沿AG方向射入两金属板之间，有部分离子经F点进入下方磁场区域．不计重力，忽略离子间的相互作用．
（1）由F点进入下方磁场的离子速度；
（2）由F点进入下方磁场的某离子从EH边界垂直穿出，求该离子的比荷；
（3）由F点进入下方磁场的正负离子，比荷具有相同的最大值和最小值，最大值与（2）问中的离子比荷相同，带正电的离子均从边界FD射出磁场．求磁场边界上有正负离子到达的最大区域范围．

Answer 1

分析 （1）由离子受力平衡求解；
（2）由粒子进入、离开磁场的速度方向求得圆周运动的圆心，进而求得半径，再根据洛伦兹力作向心力即可求得比荷；
（3）先有带正电的粒子均从FD上射出磁场求得离子运动的半径范围，再根据半径范围，求得正负粒子离开此场的便边界范围．

解答 解：（1）带电粒子沿AG方向射入两金属板之间，经F点进入下方磁场区域，则粒子运动方向不改变，粒子在金属板之间受洛伦兹力和电场力的作用，因为电场力为水平方向，所以，电场力和洛伦兹力平衡，即$\frac{U}{d}q={B}_{0}vq$，所以，$v=\frac{U}{{B}_{0}d}$；
（2）粒子能由F点进入下方磁场，则粒子在F点的速度竖直向下，所以，粒子在下方磁场做圆周运动的圆心在ED这条直线上；又有粒子从EH边界垂直穿出，则粒子在下方磁场做圆周运动的圆心也在EH这条直线上，两直线交于E点，所以，E点即为粒子在下方磁场做圆周运动的圆心，所以粒子在下方磁场做圆周运动的半径为$\frac{2}{3}a$；
由洛伦兹力作向心力可得：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以$\frac{q}{m}=\frac{v}{BR}=\frac{3U}{{2B}_{0}Bda}$；
（3）粒子在下方磁场中，洛伦兹力作为向心力，粒子做圆周运动的半径为r，则有$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{r}$，所以，$r=\frac{v}{B\frac{q}{m}}$；
$\frac{q}{m}$越小，则r越大，带正电的离子做圆周运动能从边界FD射出磁场的最大半径如图所示，
，
设O′为圆弧GD的圆心，O为粒子运动的圆心，则a²+r²=（3a-r）²，解得：$r=\frac{4}{3}a$，
带电粒子的比荷最大值与（2）问中的离子比荷相同，此时，粒子做圆周运动的半径为$\frac{2}{3}a$，
所以带电粒子在下方磁场做圆周运动的半径r有关系式：$\frac{2}{3}a≤r≤\frac{4}{3}a$；
所以，带正电的粒子在磁场边界上能到达的最大范围为FD上距离F点的距离为$[\frac{4}{3}a，\frac{8}{3}a]$范围内；
带负电的粒子向左偏转，粒子做圆周运动的半径为r，打在边界EH上的点距离E点L，
，
则有：${r}^{2}={L}^{2}+（r-\frac{2}{3}a）^{2}$，所以，$L=\sqrt{\frac{4}{3}a（r-\frac{1}{3}a）}$，
因为由F点进入下方磁场的正负离子，比荷具有相同的最大值和最小值，所以，$\frac{2}{3}a≤r≤\frac{4}{3}a$，所以，$\frac{2}{3}a≤L≤\frac{2\sqrt{3}}{3}a$，
所以，带负电的粒子在磁场边界上能到达的最大范围为EH上距离E点的距离为$[\frac{2}{3}a，\frac{2\sqrt{3}}{3}a]$范围内．
答：（1）由F点进入下方磁场的离子速度为$\frac{U}{{B}_{0}d}$；
（2）由F点进入下方磁场的某离子从EH边界垂直穿出，该离子的比荷为$\frac{3U}{2{B}_{0}Bda}$；
（3）由F点进入下方磁场的正负离子，比荷具有相同的最大值和最小值，最大值与（2）问中的离子比荷相同，带正电的离子均从边界FD射出磁场．则磁场边界上有正负离子到达的最大区域范围为FD上距离F点的距离为$[\frac{4}{3}a，\frac{8}{3}a]$范围内和EH上距离E点的距离为$[\frac{2}{3}a，\frac{2\sqrt{3}}{3}a]$范围内．

点评 求解带电粒子在磁场中的运动问题，要充分利用几何关系，尤其是圆的相切关系、垂直关系及对称关系．