Question

9．宇宙中有一星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半．若在地球上h高处水平抛出一物体，射程是30m，设在地球的第一宇宙速度约为8km/s，试求：
（1）在该星球上，从同样高度以同样的初速度水平抛出同一物体，水平射程是多少？
（2）至少以多大的速度抛出，物体才不会落回该星球的表面？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力，得出星球与地球的重力加速度之比，根据平抛运动的知识得出水平位移，通过重力加速度的关系得出水平位移的关系，从而得出在星球上平抛运动物体的射程．
（2）第一宇宙速度等于贴近星球表面做匀速圆周运动的速度，是最小的发射速度，根据万有引力提供向心力，得出星球和地球的第一宇宙速度之比，从而求出在星球上物体抛出的速度，以至于物体不会落回该星球的表面．

解答 解：（1）物体做平抛运动时，有：
水平位移x=v₀t                                       
竖直位移h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得x=v₀$\sqrt{\frac{2h{R}^{2}}{GM}}$
所以$\frac{{x}_{星}}{{x}_{地}}$=$\sqrt{\frac{{R}_{星}^{2}}{G{M}_{星}}}$：$\sqrt{\frac{{R}_{地}^{2}}{G{M}_{地}}}$=$\frac{1}{6}$
x_星=$\frac{1}{6}{x}_{地}$=$\frac{1}{6}$×30=5m                               
（2）发射环绕星球表面运行的飞行物时，有$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
所以，v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
由此可得，$\frac{{v}_{星}}{{v}_{地}}$=$\sqrt{\frac{{M}_{星}}{{M}_{地}}•\frac{{R}_{地}}{{R}_{星}}}$=$\sqrt{\frac{9}{1}•\frac{2}{1}}$=3$\sqrt{2}$
即：v_星=3$\sqrt{2}$•v_地=24$\sqrt{2}$km/s
答：（1）在该星球上，从同样高度以同样的初速度水平抛出同一物体，射程是10m．
（2）以24$\sqrt{2}$km/s的速度抛出，物体才不会落回该星球的表面．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能熟练运用．